|
Liber VI
De geometria
Gherardo di Giovanni del Fora (1445-1497)
De geometria
567 «Virgo armata decens, rerum sapientia, Pallas,
aetherius fomes, mens et sollertia fati,
ingenium mundi, prudentia sacra Tonantis,
ardor doctificus nostraeque industria sortis,
quae facis arbitrium sapientis praevia curae
ac rationis apex divumque hominumque sacer nus,
ultra terga means rapidi ac splendentis Olympi,
celsior una Iove, flammantis circulus aethrae,
ἑπτὰς in numeris, prior igni, tertia Lunae,
quam docto assimulant habitu qui agalmata firmant;
568 hinc nam tergeminae rutilant de vertice cristae,
quod dux sanguineo praesulque corusca duello,
vel tibi quod fulget rapiturque triangulus ignis.
569 hinc tibi dant clipeum, sapientia quod regat orbem,
vel rationis opem quod spumea proelia poscant,
hasta etiam vibrans penetrabile monstrat acumen,
†lymphaseum magis est et scutum circulus ambit.
570 hinc nam vernicomae frondent tibi munera olivae,
artes cura vigil per te quod discat olivo;
571 glaucam dant volucrem, quod lumina concolor igni est,
tuque ignis flos es cluis et glaucopis Athene.
an mage noctividae tibi traditur alitis usus,
quod vigil insomnes ducat sollertia curas?
572 pectore saxificam dicunt horrere Medusam,
quod pavidum stupidet sapiens sollertia vulgum.
573 arcibus urbanis veteres tibi templa sacrarunt,
quod ratio amplificet quibus est elatior urbes.
hinc de patre ferunt sine matris foedere natam,
provida consilium quod nescit curia matrum,
consultisque virum praesis, hinc dicta virago.
574 o sacra doctarum prudentia fontigenarum,
sola novem complens, Musis mens omnibus una,
deprecor: ad proprium dignata illabere munus
inspirans nobis Graias Latiariter artes.
575 Ago tibi habeoque, diva, persolvensque perpetes debebo grates, †optatis fulcida dignaris annuere: nosco venerorque, quod vidi. parent denique iam ingressurae Artis obsequio electissimae feminarum, quae decentem quandam atque hyalini pulveris respersione coloratam velut mensulam gestitantes ad medium superi senatus locum fiducia promptiore procedunt. sed quae istae sint quidve gestitent, gerendorum inconscius non adverto». 576 hic, ut lepidula est, et quae totam fabellam ab inchoamentorum motu limineque susceperit, Satura iocabunda, «ni fallor», inquit «Felix meus, plurimum affatimque olivi, quantumque palaestras perluere vel sponsi ipsius posset, superfluo perdidisti, dispendiaque lini perflagrata cassum devorante Mulcibero, qui tot gymnasiorum ac tantorum heroum matrem Philosophiam non agnoscis saltem: cum per eam Iuppiter dudum caelitis consultum senatus tabulamque vulgaret, cumque ad Philologiae concilianda consortia procum affatum conubialiter allegaret, ne tunc eam noscere potuisti? 577 sed quia nunc Arcadicum ac Midinum sapis praesertimque ex illo, quo desudatio curaque districtior tibi forensis rabulationis partibus illigata aciem industriac melioris obtudit, amisisse mihi videris et huius matronae memoriam et iam eiusdem germanam voluisse nescire. 578 illa namque, parili quam accinctam cernis officio, Paedia vocitatur, femina admodum locuples et quae illas Croesias Dariasque prae suis opes gazasque despiciat. haec utpote talentorum conscia in omnium rara congressus, nec cuiquam facile primores saltem vultus superba committens; plerumque tamen adhaesit arrisitque pauperibus, magisque illis, quos aut pedibus nudos aut intonso crine hispidos aut sordenti conspexit pallio semitectos. denique, si Marcum Terentium paucosque Romuleos excipias consulares, nullus prorsus erit, cuius ista limen intrarit. 579 vides igitur, utrique feminae quam insit fastuosa censura; tamen utraque Mercurialis ministrae, quae veniet, officio praeparantur. illud quippe, quod gerulae detulerunt, abacus nuncupatur, res depingendis designandisque opportuna formis; quippe ibi vel lineares ductus vel circulares flexus vel triangulares arraduntur anfractus. hic totum potis est ambitum et circos formare mundi, elementorum facies ipsamque profunditatem adumbrare telluris; videbis istic depingi, quicquid verbis [visum] non valeas explicare». «nimirum» inquam «ista, quae veniet, Apellen Polyclitumque transcendit; ita quippe memoratur posse omnia effigiare, ut labyrintheus Daedalus eam credendus sit genuisse». 580 et cum dicto prospicio quandam feminam luculentam radium dextera, altera sphaeram solidam gestitantem amictamque laevorsum peplo, in quo siderum magnitudines et meatus, circulorum mensurae conexionesque vel formae, umbra etiam telluris in caelum quoque perveniens vel lunae orbes ac solis auratos caliganti murice decolorans inter sidera videbatur. 581 ipsum vero vernantis aethrae salo refulgebat, denique etiam in usum germanae ipsius Astronomiae crebrius commodatum, reliqua vero versis illitum diversitatibus numerorum, gnomonum stilis, interstitiorum, ponderum mensurarumque formis diversitate colorum variegata renidebat. crepidas peragrandae telluris causa easdemque permenso orbe contritas viatrix infatigata gestabat. 582 quae quidem ingressa senatum deum, licet, quot stadia e terris in caelum quotque ulnas, quot denique digitos permensa sit, instanter absolveret, tamen Ioviali caelestumque maiestate contacta ad illam abaci renudati mensulam circumspectans camerae exterioris ornatum et laqueata sideribus palatia properavit.
583 Constitit attonito spectans stellantia visu,
et decuit crinis pulvereique pedes.
ipsa etiam laeva sphaera fulgebat honora,
assimilis mundo sideribusque fuit:
nam globus et circi zonaeque ac fulgida signa
nexa recurrebant arte locata pari.
tellus, 584 quae rapidum consistens suscipit orbem,
puncti instar medio haeserat ima loco.
hanc tener et vitreis circumvolitabilis auris
aer complectens imbrificabat aquis.
quae tamen immenso, quo cingitur illa, profundo
interrivata marmore tellus erat.
texerat exterior qui fulget circulus orbis
aetheris astrifico lumina multa peplo.
585 hinc nitidus rutilum Titan succenderat orbem,
moxque imitata pium lactea Luna diem.
sic igitur furvae oculos splendescere noctis
cernas ex auro ut sacra flamma micat.
sic Cypris Oceani perfuso sidere lymphis
Lucifero annuerat lumina tota suo.
omnia compar habet paribus sub legibus ordo,
nec minus haec mira est quam domus alta deum.
hanc mundo assimilem stupuit Trinacria tellus
Archimedea astrificante manu.
o felix cura et mentis prudentia maior
corpore sub nostro aequiperasse Iovem.
586 Tandem igitur reglutinatis ab aethrae intervibrantis admiratione luminibus, decenti collustrans divos conspectansque censura, cum omnibus reverenda venerabili dignitate et magistra ceterarum, quae notae divis sunt, Artium diceretur, exquisitum , eruditionis arcanum ut ab ipsis praeceptionis cunabulis auspicata depromeret. tum illa, remoto paululum obstaculo contorti crinis a facie, orisque luculenta maiestate resplendens atque abaci sui superfusum pulverem movens, sic exorsa: 587 «licet Archimedem meum inter philosophos conspicata Euclidemque doctissimum in astruendae praeceptionis excursus potuerim subrogare, ne impolitum quicquam subsisteret assertorum aut profunditas caligaret, tamen congruentius ipsa vobis cum, quia et Cyllenium excludit ornamen, illi etiam Helladica tantummodo facultate, nihil effantes Latiariter, atticissant, quae etiam ipsos edocui, quod numquam fere accidit, Romuleis ut potero vocibus intimabo. 588 ac prius vocabuli mei promenda ratio, ne indecenter squalentior peragratrix caelicolarum auratam curiam et interstinctum cylindris gemmantibus pavimentum rurali respersura pulvere credar intrasse. Geometria dicor, quod permeatam crebro admensamque tellurem eiusque figuram, magnitudinem, locum, partes et stadia possim cum suis rationibus explicare, neque ulla sit in totius terrae diversitate partitio, quam non memoris cursu descriptionis absolvam». 589 quo dicto quoniam fuerant in deorum senatu quamplures, qui neque noti terris essent neque ipsi umquam dicerent se calcasse tellurem, ipse etiam Iuppiter curiosius totius terrae latebras vellet exquirere, credo necubi decentes puellas isto quoque saeculo is versiformis etiam cupitor audiret, hoc igitur promere Geometria primum iubetur ac demum cetera astruendae praecepta artis aperire. tum illa: 590 «Formam totius terrae non planam, ut aestimant, positioni qui eam disci diffusioris assimulant, neque concavam, ut alii, qui descendere imbrem dixere telluris in gremium, sed rotundam, globosam etiam [sicut Secundus] Dicaearchus asseverat. 591 namque ortus obitusque siderum non diversus pro terrae elatione vel inclinationibus haberetur, si per plana diffusis mundanae constitutionis operibus uno eodemque tempore supra terras et aequora nituissent aut item, si emersi solis exortus concavis subductioris terrae latebris abderetur. 592 sed quoniam posterior assertio mage despicabilis opinationis cassae vilitate tenuatur, illam priorem, cui etiam physicus Anaxagoras accessit, praestat exigere, quamvis nonnullas credatur astruere rationes: quippe dicit planam terram ortu occasuve solis aut lunae perspicue comprobari, qui, mox primi luminis fulgor emerserit, confestim ad obtutus nostros directis lineis diriguntur, quod magis indubitabilis probamenti fiet, si in litore consistentes obstacula montium relinquamus. quod si ita esset, cunctis supra terras degentibus eodem tempore emergentia viderentur, occasusque uno obitu condita cunctas valerent tenebrare terras, ac falsa Romulei vatis exploderetur assertio, qua docet:
nosque ubi primus equis Oriens afflavit anhelis,
illic sera rubens accendit lumina Vesper.
704 Dixerat; at Paphie paulum contractior ore
mora intricante laeditur,
nixaque mox famulis marcentia terga reclinat
magis quod lassa pulchrior.
hic dudum roseas inter resoluta puellas
Voluptas inquit anxia:
«unde haec tam duris immitis rustica membris
peregit orbis circulum
et tantos montes, fluvios, freta, competa currens
delere venit taedia?
hanc ego crediderim sentis spinescere membris
neque hirta crura vellere;
namque ita pulverea est agresti et robore fortis,
iure ut credatur mascula».
705 Quo dicto Iocus ministris Veneris suscitatur ipsique Cythereae, cui de proximo susurratum, decenter arrisit. quam Arcas nutu hilaro et quo eam solitus intueri propter divum reprehensiones circumspectus inhibuit. verum Pronuba propter assidens «nihil mirum» inquit, «si propere Venus cum deliciis famulitioque tam comi appulsa est lascivire; nam et nuptialiter laeta est et blanda semper arridente Cyllenio». et cum dicto Geometria praecipitur ad promissa properare, sed ita, ut summa quaeque perstringens fastidium non suscitet tarditate. tum illa: 706 «Omnis mea, quae in infinitum propagatur, assertio numeris lineisque discernitur, quae nunc corporea, tum incorporea comprobantur. nam unum est, quod animi sola contemplatione conspicimus, aliud, quod etiam oculis intuemur. verum prior pars, quae numerorum regulis rationibusque concipitur, germanae meae Arithmeticae deputatur. alia est linearis atque optica huius pulveris erudita cognitio, quae quidem ab incorporeis procreata ac sensim multiplices formas effigiata tenui ac vix intellectuali principio in caelum quoque subvehitur. 707 quod quidem incorporeum invisibileque primordium commune mihi cum Arithmetica reperitur; nam monas eiusdem insecabilis procreatio numerorum est, mihique signum vocatur, quod utpote incomprehensibile parte nulla discernitur; apud illam dyas lineam facit, mihi linea in longitudinem ducta latitudini nihil prorsus acquirit. superficies item mihi tam longe lateque diffusa sine profunditate censetur, illi numerus, qui cunctis accedere speciebus gregatim singulatimque potest, nisi rebus incidat, incorporeus invenitur. ergo incorporea utriusque principia. 708 Verum primae apud me formandorum schematum partes duae: una, quae dicitur planaris, quam ἐπίπεδον graece soleo memorare, alia solida, quam στερεόν dicimus. et prioris principium est σημεῖον, quod punctum vel signum latiariter appellatur, consequentis superficies, quae ἐπιφάνεια dicitur. punctum vero est, cuius pars nihil est, quae si duo fuerint, linea interiacente iunguntur. linea vero est, quam γραμμήν vocamus, sine latitudine longitudo. 709 linearum aliae directae sunt, quas εὐθείας dico, aliae in gyrum reflexae, quas κυκλικάς, nonnullas etiam ἑλικοειδεῖς, alias καμπύλας pro obliquitate discrimino. quae tamen lineae punctis utrimquesecus includuntur, sicuti ipsae quoque superficiem circumcingunt. superficies est, quae longitudinem et latitudinem tantum habet, profunditate deseritur, ut est color in corpore; hanc ἐπιφάνειαν Graeci dixere, et, ut dixi, eius termini lineae sunt, sive plana sit sive sinuosa. 710 Planus autem fit angulus in planitie duabus lineis se invicem tangentibus et non unam facientibus ad alterutram inclinationem. quando autem quae intra se tenent angulum lineae [et] directae fuerint, directilineus dicitur angulus, ut Graece εὐθύγραμμος. quando autem directa super directam iacentem stans dextra laevaque angulos aequales fecerit, directus uterque est angulus, et illa superstans perpendicularis dicitur, sed Graece κάθετος. angulus maior directo obtusus dicitur, minor directo acutus. terminus est res, quae alicuius est definitio. forma est res, quae ex aliquo vel aliquibus terminis continetur. 711 Circulus est figura planaris, quae una linea continetur. haec linea περιφέρεια appellatur, ad quam ex una nota intra circulum posita omnes directe ductae lineae aequales sunt; punctum autem est circuli media nota. diametros est directa linea quaedam per punctum supra dictum ducta, quae orbem aequalibus partibus dividit. hemicyclium est figura, quae diametro et peripheria media, quam eadem diametros distinguit, continetur. lineae tres directae diversa positione faciunt trigonum, quattuor tetragonum, multae polygonum. et eae planae figurae dicuntur. quarum sunt genera tria, quorum unum directis lineis clauditur, quod Graeci εὐθύγραμμον vocant; aliud, quod inflexis, quod καμπυλόγραμμον dicunt; tertium, quod directis simul curvis lineis aptatur, quod μικτόν dicunt. 712 εὐθύγραμμος igitur et τρίπλευρος et τετράπλευρος et πολύπλευρος dicitur. τρίπλευρος tres habet formas; nam trigonus aut ἰσόπλευρον , quod latine aequilaterum dicitur, quod tribus paribus lineis lateribusque concurrit: aut ἰσοσκελές, quod ex tribus lineis duas aequales habet, quibus quasi cruribus insistit, denique aequicrurium vocitatur: aut σκαληνόν, quod omnes tres lineas inter se inaequales habet. εὐθύγραμμος item τετράπλευρος quinque species habet: primam, quae quattuor aequalibus lineis et directis angulis sustentatur, quod schema tetragonon dicitur: secunda species, quae directiangula est, non aequilatera, et dicitur ἑτερομήκης: tertia aequilatera est, non tamen directiangula, et dicitur ῥόμβος: item quae ex adverso sibi latera aequalia et contrarios angulos invicem sibi aequales habeat et neque omnia latera invicem sibi aequalia neque angulos directos, et dicitur ῥομβοειδής; extra has formas quicquid quadrilaterum est τραπέζιον vocatur. parallelae sunt directae lineae, quae in eadem planitie constitutae atque productae in infinitum nulla parte in se incidunt. dictum de tetrapleuris, quorum similitudo polypleura schemata potest docere. in his autem pentagona, hexagona et cetera euthygrammi generis continentur. 713 Sequitur secundum schematum genus, quod curvis lineis informatur, quod καμπυλόγραμμον appellatur, cuius species duae sunt: una, quae integri circuli rationes tenet (nam integer est, cum ad eius circumferentiam a puncto centrali lineae protentae undique aequales sibi sunt); alia, quae obducti circuli diversitates ostendit. 714 tertium genus est planorum schematum, quod μικτόν vocant, quod partim curvis lineis, partim directis includitur, ut est semicirculus, cuius, ut supra dixi, gyrum curva linea facit et alia directa, quae linea, sicut dixi, diametros dicitur, latine distermina, quae si in circulo pleno sit, per centrum eius ad utramque circumferentiam pervenit. 715 In his generibus planorum alia schemata dicuntur ergastica, alia apodictica. ergastica sunt, quae faciendae cuiuslibet formae praecepta continent; apodictica, quae probandi, quod asseverant, afferunt documenta. verum Graecis nominibus sic appellantur: primus συστατικός, secundus τμηματικός, tertius ἀνάγραφος, quartus ἔγγραφος, quintus περίγραφος, sextus παρεμβολικός, septimus προσευρετικός. συστατικός est, qui docet, quibus argumentis lineas praecidamus ad imperatum modum. ἀνάγραφος dicitur, quo docetur, quibus argumentis propositae lineae adiungi et adscribi possit reliquum schema, quod imperatum est. ἔγγραφος est, qui monstrat, quibus argumentis dato circulo verbi gratia imperatum trigonum vel quid aliud in medio possimus convenienter adscribere. περίγραφος tropus est, qui docet, quemadmodum datum circulum verbi gratia quadrato concludamus schemate. παρεμβολικός est, qui docet, quemadmodum verbi gratia dato tetragono immittamus datum trigonum, ut tetragoni spatia crescant, non schema mutetur. προσευρετικός tropus est, qui docet, quemadmodum verbi gratia inter datas impares lineas inveniamus mediam, quae tantum cedat maiori lineae, quantum praecedit minorem. hi sunt tropi generales ergasticorum schematum. 716 apodictici autem tropi ideo transeuntur, quod mihi cum «Dialectica, quam audistis, communes sint. sed omnia schemata quinque partibus [communes sint] explicantur, quae a Graecis sic appellantur: prima πρότασις, secunda διορισμός, tertia κατασκευή, quarta ἀπόδειξις, quinta συμπέρασμα. latine autem sic possumus interpretari: prima schematis propositio, secunda determinatio quaestionis, tertia dispositio argumentorum, quarta demonstratio comprobatioque sententiae, postrema conclusio. hoc de generibus planorum dictum sit; ad theorematum membra redeamus; nam utique membra sunt linea et angulus. 717 Angulorum natura triplex est; nam aut iustus est, aut angustus, aut latus. iustus est, qui directus et semper idem: angustus autem acutus est et semper mobilis; latus vero obtusus mobilisque similiter. nam cum latior fuerit directo sive multum sive exiguum, obtusus tamen erit, et cum moveris, in forma eadem permanebit, quia mobilitas in lineis constat, cum maiores minoresve formantur. huius autem collationis quattuor sunt species: prima dicitur ἰσότης, secunda ὁμόλογος, tertia ἀνάλογος; quarta ἄλογος. ἰσότης est cum duae lineae pares uni mediae duplo parilive conferuntur; ὁμόλογος, cum collata consentiunt; ἀνάλογος, cum linea ab alia duplo victa aliam tantundem superat; ἄλογος vero est, quae neque aequalitate vel media tertiave parte neque duplo triplove alteri ullave parte consentit. 718 omnis autem linea aut ῥητή dicitur aut ἄλογος. ῥητή autem illa est, quae prior proponitur, aut quae propositae lineae communi mensura confertur; ῥητόν autem dicitur quicquid convenit. proposita autem linea, quamvis collata non sit, tamen quia adhuc non est ἄλογος alii collata, et habet quiddam quod ex se sola perficiat rationabiliter, appellatur ῥητή. ἄλογος autem iam collata linea efficitur, si dissonare per omnia reperitur. 719 lineas autem, quae sibi consentiunt, symmetras dicimus; quae non consentiunt, ametras. et non mensura sola, sed et potentia symmetras facit, et dicuntur δυνάμει σύμμετροι; in mensura autem pares μήκει σύμμετροι appellantur. ergo cum tam mensura quam potentia conferantur, omnes, quae vel potentia vel mensura discrepant, ametrae sunt. 720 ex his alogae tredecim fiunt, quarum prima dicitur μέση ἄλογος, secunda ἐκ δυοῖν ὀνομάτων ἄλογος; huius species sunt sex, quarum prima dicitur πρώτη ἄλογος, secunda similiter δευτέρα, item τρίτη et ceterae deinceps. item tertium genus dicitur ἐκ δύο μέσων πρώτη ἄλογος et similiter ut supra, quartum ἐκ δύο μέσων δευτέρα ἄλογος; quintum genus dicitur μείζων ἄλογος, sextum ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη ἄλογος, septimum δύο μέσα δυναμένη ἄλογος, octavum ἀποτομὴ ἄλογος; huius species sunt sex: prima, secunda, tertia et deinceps dicuntur ut supra: nonum μέσης ἀποτομὴ πρώτη ἄλογος, decimum ἀποτομὴ δευτέρα ἄλογος, undecimum ἐλάσσων ἄλογος, duodecimum μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ἄλογος, tertium decimum μετὰ μέσου μέσον < τὸ> ὅλον ποιοῦσα ἄλογος. hae omnes mixtae ceteris lineis, dum aut trahunt suas aut alienas vires accipiunt, diversis rationibus certos spatiorum modos, quos Graeci χωρία appellant, demonstrant. 721 Haec de planis dixisse sufficiat. nunc de solidis, quae sterea dicimus, videamus. stereon schema, quod longitudine, latitudine, altitudine constat, cuius extremum superficies est, ut in planis linea. subsistit autem solidum schema planorum schematum superficie; nam subiacenti trigono pyramis imponitur, circulo conus aut cylindros, quadro cybos, et cetera similiter. 722 sphaera sane intrinsecus capax omnium circulis subsistit, in quos resolvitur. soliditas vero efficit schemata generalia, quae dicuntur a Graecis πυραμίδες; item prisma, id est sectio, quae instar schematis est; item cybos, item conus, item cylindrus, item sphaera. his adduntur nobilia schemata ex his composita ὀκτάεδρος, item δωδεκάεδρος, item εἰκοσάεδρος. quae cuncta ut ordine suo monstremus in pulvere, haec primitus concedenda: fas sit ab omni signo ad omne signum directam lineam ducere, et terminatam directam per continuum in directam emittere, et omni centro et interstitio circulum scribere, et omnes directos angulos invicem aequales sibi esse, et omnem directam lineam terminatam quantum videtur producere, et si in duas directas lineas directa linea incidens intus et eadem parte duos angulos duobus rectis minores faciat, ex illa parte, qua sunt minores duobus rectis, directas lineas convenire. 723 communes animi conceptiones sunt tres: quae eidem aequalia sunt, et invicem sibi aequalia esse; et si aequalibus aequalia addas, tota aequalia esse; et si aequalibus aequalia adimas, aequalia esse reliqua». 724 haec cum permissa conspiceret, lineam in abaco rectam ducens sic ait: «quemadmodum potest super datam directam terminatam lineam trigonum aequilaterum constitui?» quo dicto cum plures philosophi, qui undiquesecus constipato agmine consistebant, primum Euclidis theorema formare eam velle cognoscerent, confestim acclamare Euclidi plaudereque coeperunt. cuius laudibus etiam ipsa Geometria plurimum gratulata, se per sectantis gloriam sublimari provehique cognoscens, ab eodem libros eius, quos casu apportare conspexerat, festina corripuit atque in ceterae astructionis doctrinaeque documentum Iovi ac senatui caelitum offerens intimavit. quo facto et doctissima cunctarum et benignissima comprobatur.
|