De nuptiis Philologiae et Mercurii libri IX

ante 439

_______________________________________________________________________________________

Liber VII

De arithmetica

Gherardo di Giovanni del Fora (1445-1497)

De arithmetica

725 Postquam conticuit prudens Permensio terrae,

Innuba, sollertes curam quae instigat in artes,

sic abacum perstare iubet, sic tegmine glauco

pandere pulvereum formarum ductibus aequor.

altera tunc etiam gerularum accire iubetur

germanam doctae, mundum quae admensa, sororis,

nec mora digreditur. tunc rursus dia Voluptas

ipsius aetheria Cylleni immurmurat aure:

«cum doctas superis admirandasque puellas

approbat Armipotens, tu optati lentus amoris

gaudia longa trahis captumque eludis honorem?

seria marcentem stupidant commenta maritum?

talia complacita spectat fastidia virgo,

nec te cura tori, nec te puer ambit herilis,

nec mea mella rapis? quaenam haec hymeneia lex est?

in Veneris sacro Pallas sibi vindicat usum;

quam melius thalamo dulcis Petulantia fervet!

casta maritalem reprimit Tritonia mentem

et nuptae non aequa venit; poscenda Dione est,

conveniensque tibi potius celebrare Priapum».

726 His Atlantiades auditis licet risum inhibere vix posset, ne infacetus tamen et impar lepidulis haberetur, hilaro susurramine sic respondit:

Licet urgeas, Voluptas,

thalamos inire suadens,

tamen exeret peritas

brevis ambitus puellas;

demumque nec iugalis

cessator intricatus

tardabo fulcra lecti,

et si quid illa nostrae

Veneris feret voluptas,

nec vobis abnegabo.

furtis modo allubescat

et clam roseta parvae

liliaque det papillae.

†nec sensus iugalis

feralistacura morsum†

et vulsa fellis atro

laceros trahat capillos.

727 Quo dicto renidens et plus solito laetior Voluptas ad Venerem regressa cuncta eius auribus intimavit. quae deliciosa mollitie et interrumpente genas rubore paene prodidit susurrata, tuncque marcidulis decenter paeta luminibus Maiugenam conspicata quodam aspectu promittentis illexit, quam Saturnia de propinquo velut deprehendentis castigabat obtutibus. 728 quae dum geruntur, Paedia, quae egressa dudum, cum alia femina miri decoris ingreditur, cui quaedam maiestas nobilissimae vetustatis et ipsius Tonantis natalibus ortuque praecelsior vultus ipsius lumine renidebat. quae etiam miraculis quibusdam capitis reverenda videbatur; nam primo a fronte uno sed vix intelligibili radio candicabat, ex quo item alter erumpens quadam ex primo linea defluebat; dehinc tertius et quartus, tuncque etiam nonus decuriatusque primus honorum reverendumque verticem duplis triplisque varietatibus circulabant. sed innumerabili radios multitudine prorumpentes in unum denuo tenuatos miris quibusdam defectibus contrahebat. 729 huius autem multiplicem plurimiformemque vestem quoddam velamen, quo totius naturae opera tegebantur, abdiderat. digiti vero virginis recursantes et quadam incomprehensae mobilitatis scaturrigine vermiculati. quae mox ingressa septingentos decem et septem numeros complicatis in eos digitis Iovem salutabunda subrexit. tum Philosophia, ut Tritonidam propter astabat, quid numero tali Arithmetica intulisset, exquirit. cui Pallas «proprio» inquit «Iovem nomine salutavit». ac tunc illi radius primus emerserat, colliniatae lucis nitore porrecto ipsius Iovis verticem luminavit. quibus miraculis radiorum innumera repente multitudine prorumpente nonnulli tellustres silvicolaeque divi Herculem conspicati, opinantes eam hydreo germine pullulare. ac tunc oborto terrigenis mussantibus murmure, puer ille piceus iussus admonere silentium. verum feminam Pythagoras, ut inter sapientes astabat, usque abacum consecutus, idemque iam artem promere cupienti quandam lactei luminis facem officioso consistens munere praeferebat. tum illa antequam iuberetur, quid apportet, expromere, sic exorsa: 730 «Non ignota caelo nec rebus mundanis ignorata, quas genui, adveni super vestrum quidem nihil dedignata concilium, quamvis singulos vos universosque recenseam ex meis ramalibus germinari; tuque potissimum, quem principalis ante cunctos procreavit emissio, tuae singularis primigeniaeque naturae fontem, Iuppiter, recognosce. nec despicabilem vestrum omnium matrem Mercuriale quod habeo me faxit officium, cum prosapiam arcanae sortis originisque primordialem vobis studeam comprobare. quae cum in terris exerceor, astrorum populus recognoscat honorandam suae multitudinis genetricem. 731 Prae cunctis igitur affata sacra monas esto, quam ante cuncta vibrantem sociati postmodum numeri principia docuerunt. quae si species est accidens cuilibet extantium primo, priusque est quod numerat quam illud numerandum, rite eam ante ipsum, quem principem dixere, veneramur. nec dissimulabo ex eo, quod monas, retractantibus unum solum ipsam esse ab eaque cetera procreari omniumque numerorum solam seminarium esse solamque mensuram et incrementorum causam statumque detrimentorum. quae tamen ubique pars est, ubique totum, dum per cuncta perpetua; neque enim, quae est ante extantia et quae post absumpta non absconditur, potest non esse perpetua. hanc igitur patrem omnium Iovem rite esse nominatam, quod quidem idealis illius intellectualisque speciei vis causativa testatur. ad cuius exemplum unum deum, unum mundum unumque solem singularemque lunam, elementa etiam IIII quae extant singula memorari. licet Aristoteles, unus e sectatoribus meis, ex eo, quod unum solum ipsa sit et se quaeri semper velit, cupidinem asserat nominatam, quod se cupiat, siquidem ultra nihil habeat, et expers totius elationis aut copulae in se proprios detorquet ardores. hanc quoque alii Concordiam, hanc Pietatem Amicitiamque dixere, quod ita nectatur, ut non secetur in partes; tamen rectius Iuppiter nuncupatur, quod sit idem caput ac pater deorum. 732 Denique cum unum facta in quodcumque defluxerit, licet eius linea insecabilis ac sine latitudinis significatione fundatur, dyadem tamen facit. quae dyas, quod sit prima procreatio, a nonnullis genesis dicta. quod autem inter eam ac monadem prima coniunctio est consortiumque consimile, Iuno perhibetur, vel coniunx vel germana praecedentis. est autem medietatis capax, nam bona malaque participat. eadem discordia ex qua adversa oriantur, utpote quae prima poterit ab adhaerente separari. in bonis vero eadem iustitia, quod duobus aequis gaudeat pariter ponderatis; eademque societas, quod vinculum, quo medio conectantur, habeatur utrimque commune. ab hac numerus auspicatur, et est opinabilis corporatio motusque primi probamentum. elementorum etiam mater (nam de dyade quartus, elementorum numerus, procreatur) primaque forma paritatis est. 733 Trias vero princeps imparium numerus perfectusque censendus. nam prior initium, medium finemque sortitur et centrum medietatis ad initium finemque interstitiorum aequalitate componit. denique Fata Gratiarumque germanitas et quaedam virgo, quam dicunt «caeloque Ereboque potentem», huic numero colligatur. ex eo etiam perfectus, quod perfectos gignit senarium novenariumque. cuius auspicio preces tertio ac libamina repetuntur. tres symphonias continet harmonia, id est diapason, hemiolion, diatessaron. in tria se spatia temporis cursus alternat, ideoque tribus divinatio memoratur. idem mundana perfectio est; nam monadem fabricatori deo, dyadem materiae procreanti, triadem idealibus formis consequenter aptamus. animam vero rationis et iracundiae cupiditatisque distribuere trigario. 734 Quid tetradem dicam? in qua soliditatis certa perfectio; nam ex longitudine ac profunditate componitur, decasque plena his quattuor numeris gradatim plicitis integratur, id est uno, duobus, tribus, quattuor. item hecatontas a decade quaternario cumulatur, id est decem, viginti, triginta, quadraginta, qui sunt centum. et item a centum quattuor numeri reddunt mille, id est centum, ducenti, trecenti, quadringenti. sic decem milia ceteraque excrementa complentur. quid, quod quattuor anni tempora frontesque caeli elementorumque principia esse non dubium est, hominum etiam quattuor aetates, quattuor vitia quattuorque virtutes? hic numerus †quadratus ipsi Cyllenio, quod quadratus deus solus habeatur. 735 Sequitur pentas, qui numerus mundo est attributus; nam si ex quattuor elementis ipse sub alia forma quintus, pentade est rationabiliter insignitus. qui quidem permixtione naturali copulatur; nam constat ex utroque sexus numero: trias quippe virilis est, dyas femineus aestimatur. apocatastaticus etiam dicitur et sive cum aliis imparibus sive cum suo genere sociatus se semper ostendit. nam quinque per quinque habes viginti quinque, et quinquies terni quindecim, et quinquies septeni tries quinques, et quinquies noveni quadrages quinques, item zonae terrae quinque, in homine sensus quinque, totidemque habitatorum mundi gencra, ut homines quadrupedesque reptantes, natantes, volantes. hunc numerum quis neget esse diametrum? nam decadis perfectio circulusque huius hemisphaerio edissecatur. 736 Senarium vero perfectum analogicumque esse quis dubitet, cum suis partibus impleatur? nam et sextam sui intra se continet, quod est unus, et tertiam, quod duo, et medietatem, quod tres, item naturalia officia, sine quibus esse nihil potest, sunt sex: magnitudo, color, figura, intervallum, status, motus. item motus totidem differentiae sunt; nam movemur prorsum retrorsumque, dextra laevaque, sursum deorsumque. nam ille aeternus quidem motus est circuli. hic autem numerus Veneri est attributus, quod ex utriusque sexus commixtione conficitur, id est ex triade, qui mas, quod impar est numerus, habetur, et dyade, quae femina paritate; nam bis terni sexis facit. solida etiam figura quadrati sex superficies habet. totius harmoniae toni sunt sex, id est quinque toni et duo hemitonia. 737 idem per primum motum, hoc est dyadem, collatus duodecim facit, inter quos duos numeros duo medii inveniuntur, hoc est octo et novem. quorum unus ex meo nomine regulaque censetur (nam arithmeticus memoratur), id est novenarius; eodem enim numero superatur a duodecim, quo novenarius superat senarium, id est tribus. alius autem numerus, id est octo, musica ratione confertur. ea enim parte superatur a duodecim, qua ipse superat sextum, id est tertia; nam sexti tertia duo sunt, duodecimi tertia quattuor. quod geometrica ratione componitur; ea enim possunt per collationem media, id est octo per novem, quae extrema, id est sex per duodecim; nam utrumque facit septuaginta duo. item et in maioribus numeris media extremorum rationibus componuntur sub praedicta senaria ratione. nam sexies septuages dipondius faeit quadringenta tries dipondius; similiter octies septuages dipondius quingenta LXXVI. item novies LXXII facit sescentos XLVIII; similiter duodecies facit octingentos LXIIII. quae media inter se multiplicata reddunt numeros extremorum inter se convenientium. hic primus numerus, id est senarius, harmonias ostenditur genuisse; quippe sex ad duodecim est symphonia diapason, sex ad novem hemiolios, sex ad octo epitritos, id est symphonia diatessaron. unde Venus Harmoniae mater perhibetur. item hic senarius quadrato et solido quaternario sociatus horas diei noctisque dimetitur; nam quater seni vies quattus facit. 738 Quid autem te, heptas veneranda, commemorem? quae, quod naturae opera sine feturarum contagione conformas, inter deos Tritoniae virginis vocabulum possedisti. nam quod omnes numeri intra decadem positi aut gignunt alios aliisque gignuntur aut procreantur; hexas octas generantur tantummodo, tetras autem et creat et creatur, at heptas [autem], quod nihil gignit, eo virgo perhibetur, sed quod nullo nascitur, hinc Minerva est, et quod ex numeris tam masculinis quam femininis constet, Pallas virago est appellata. nam ex tribus et quattuor septem fiunt, qui numerus formas lunae complectitur. nam primo est corniculata, quam μηνοειδῆ Graeci vocant, deinde medilunia, quam διχότομον, dehinc dimidiata maior, quae dicitur ἀμφίκυρτος, mox plena, quae dicitur πληροσέληνος; item tres formas praedictas deficiens repetit. hic numerus †lumine significat; nam unum duo tria quattuor quinque sex septem XXVIII faciunt. item septem sunt circuli et tot planetae, tot dies totque transfusiones elementorum. nam ex informi materie primus ignis, ex igni aer, ex aere aqua, ex aqua terra; item fit ascensio, et ex terra aqua est, ex aqua aer, ex aere ignis, ex igni in materiem incomprehensam iam non poterit perveniri. 739 quid hominum natura? nonne huic probatur numero deservire? in principio septimani partus hominem absolutum perfectumque dimittunt. dehinc idem homo septem meatus habet in capite sensibus praeparatos, duos oculos auresque et nares totidem et os unum. dehinc parvulis mense septimo dentes emergunt ac septimo anno mutantur. item secunda hebdomas pubertatem movet gignendique possibilitatem, tertia florem genarum; quarta incrementa staturae finiuntur: quinta iuvenalis aetatis plena perfectio est. septem etiam natura abstrusit membra vitalia: linguam, cor, pulmonem, lienem, iecur et duo renes. item septem corporis partes hominem perficiunt: caput tenus imum collum, pectus, venter, duae manus pedesque totidem. [in vertice axis caelestis]. 740 At octonarius numerus primus cybus est et perfectus, Vulcano dicatus. nam ex primo motu, id est dyade, quae Iuno est, constat. nam dyas per dyadem facit tetradem, hoc bis facit octadem. perfectus item quod a senario tegitur; omnis enim cybus sex superficies habet; item ex imparibus consecutis impletur. nam primus imparium trias, secundus pentas; ambo octadem faciunt. item cybum, qui a triade venit, id est XXVII, sequentes impares reddunt, id est heptas, enneas et undecimus, qui omnes faciunt XXVII. item tertius cybus, qui a tetrade venit, id est LXIIII (nam quater quaterni sedecim, hoc quater LXIIII), fit et hic ex imparibus quattuor, qui superiores sequuntur; id est, XIII, XV, XVII, XVIIII fiunt simul LXIIII. et sic omnes cybi per imparium incrementa inveniuntur sui dumtaxat numeri. sane hic octonarius cybus ita omnium cyborum primus est, ut monas omnium numerorum. cybus autem omnis etiam Matri deum tribuitur; nam ideo Cybebe nominatur. 741 Enneas quoque perfecta est, et perfectior dicitur, quoniam ex triade perfecta forma eius multiplicata perficitur; deinde quod primi versus finem tenet, et ideo Mars appellata, a quo finis omnium rerum. quadratus quoque finis est eorum, quae per collationem augentur. nam et harmoniae ultima pars est: ad enneadem enim ab octade collatio percussionis tonus efficitur. non minus novem Musis addixere. in mundo etiam novem sunt zonae, id est sphaerae et deorum septem et terrae. 742 Decas vero ultra omnes habenda, quae omnes numeros diversae virtutis ac perfectionis intra se habet. quae licet primi versus finis sit, secundi monadis implet auxilium. haec primi versus numerorum regulas, analogias, genera, species, differentias, perfectiones et imperfecta concludit, daturque Iano, quamvis eam plurimi apocatastasin memorarint. 743 Dictum breviter, qui numerus primum versum facit, quos deorum contineat quasque virtutes. iam nunc, quid ipse numerus sit quasve inter se analogias servet et formas, breviter intimabo. numerus est congregatio monadum vel a monade veniens multitudo atque in monadem desinens. sunt autem numeri simplicis regulae quattuor. prima est, quae appellatur a paribus par, secunda a paribus impar, tertia ab imparibus par, 744 quarta ab imparibus impar, quas interius memorabo. sunt etiam qui primi numeri appellantur, qui a nullo numero dividi possunt, nisi a monade tantum, non dividi, sed componi videntur, ut puta sunt VII, XI, XIII, XVII et cetera similia; nullus enim eos numerus dividere uno ordine potest. quapropter primi appellantur, quoniam a nullo numero exoriuntur nec aequis portionibus discernuntur. a semet igitur nati alios ex se creant numeros, quoniam ab imparibus paria fiunt, a paribus impar fieri nullo modo potest. [ergo et primi numeri necessario habendi pulchrique]. 745 sed omnes numeros primi versus sub his regulis retractemus: monas quidem numerus non est. dyas par est. trias et ordine et virtute primus. tetras a paribus par. pentas primus. hexas a paribus impar et ab imparibus par, unde et perfectus nominatur. heptas primus. octas a paribus par. enneas ab imparibus impar. decas ab imparibus par. sicuti in primo versu, ita et in sequentibus hae regulae colliguntur. primus igitur versus est a monade usque ad enneadem, secundus a decade usque ad nonaginta, tertius vero ab hecatontade usque ad nongentos, quartus (qui et ultimus) a mille usque ad novem milia, licet nonnulli Graeci etiam myria adiecisse videantur. 746 mihi vero solus numerus approbatur, qui digitis coercetur; alias quaedam bracchiorum contorta saltatio sit. quo fit ut numeros germanae praecedentis formis ac lineis concinamus. nam mihi in primo versu monas, illi in signo principium, quod non habet partes; in secundo versu a decem numeri veluti linea distenduntur; in tertio versu quadrati ex centum reliquisque fiunt, quae velut latitudo primae longitudini sociatur; in quarto versu iam cybi sunt; ideo ex mille reliquisque soliditas. fines ergo vel limites mihi sunt monas, decas, hecatontas et mille, Geometriae vero nota, linea, figura, soliditas. nam monas ita individua est ut nota; decas in numeris ut linea longitudinis solius; hecatontas quadratus, qui est superficies et in longitudinem latitudinemque dividitur; id est decus per decus fit centum quadratus, hoc per decem fit cybus mille. 747 omnis impar progressus a monade per singulas positiones necessario quadratos efficit: primam ipsam monadem adde triadem: fecit quattuor, primum quadratum: adsociatis quinque fecisti secundum quadratum VIIII; iunge septem, implesti quadratum XVI; adicis item nonus, et perficis quadratum XXV. eodem modo progreditur ratio usque in infinitum. sed ad superius divisa regrediar: omnem numerum aut parem aut imparem esse et utroque finiri <---> quicquid numero adiciatur finito, finitum adici, neque ex finitis infinitum fieri posse. 748 Omnis vero numerus aut par aut impar est. par est, qui in duas aequas partes dividitur, ut II, IIII, VI; impar, qui in duas aequas partes dividi non potest, ut III, V, VII. deinde ex imparibus quidam ex impari tantum impares sunt, ut III, V, VII; quidam etiam multitudine constant, ut IX, XV, XXI, quos περισσάκις περισσούς Graeci appellant. at in his, qui pares sunt, plura discrimina sunt. <---> an pares sunt et dici possunt. ceteri vel ex paribus pares vel ex imparibus pares; et illos Graeci ἀρτιάκις ἀρτίους, vel περισσάκις ἀρτίους vel ἀρτιάκις περισσούς nominant. 749 pares ex paribus sunt IIII, quia ex bis binis, octo, quia ex bis quaternis constat; pares ex imparibus et qui parium impari multiplicatione fiunt, ut ter bini sexis aut quinquies quaterni vies, quod genus Graeci περισσάκις ἄρτιον vocant, et hi qui imparem numerorum multitudinem pari multiplicatione consummant, ut cum bis terni sexis, et quater quini XX fiunt, quod genus ἀρτιάκις περισσόν Graeci vocant. qui numeri quamvis idem sunt, rationes tamen increscendi diversas recipiunt. atque ex his ipsis quidam in duas partes divisi protinus in impares numeros recidunt, quidam semel saepiusve per pares replicati citra singularitatem in impares resolvuntur. nam duodecim et viginti semel per pares dividi possunt; at XLVIII nimirum bis vicenos quaternos, inde bis duodenos, deinde bis senos, omnes adhuc pares, efficiunt, novissime in ternos impares decidunt. itaque nemo longius procedere simili multiplicatione potest, quin, ut duplicatione revoluta †ascabest, sic per replicationes item in plures partes digeritur. nam XX et bis dena sunt et quinquies quaterna et decies bina. 750 Quattuor deinde species numeros excipiunt. quidam enim sunt per se incompositi, quidam per se compositi, quidam inter se incompositi, quidam inter se compositi; ex quibus duo priores primi numeri, duo sequentes secundi nominantur. sed ea res quo facilius addisci possit, planius indicanda est. prima et minima omnis numeri mensura singularitas est, quia nullus numerus non in singula dividi potest. deinde eum etiam aliae mensurae excipiunt, ut duplicationes, quae duplo, triplicationes, quae triplo increscunt. cum hoc ita sit, quibusdam numeris in singularitate sola mensura est, qui nisi in singula digeri non possunt, quales sunt tres. tantum impares tres sunt. IIII et VIIII: nam bis bina IIII, ter terna novem sunt: ita illa duplicatione, haec triplicatione metimur. ac saepe non una quidem talis mensura numero, sed plures; siquidem octo metiri et quadruplicatione et duplicatione facile est, cum et quater bina et bis quaterna VIII sint. itaque evidens est, quicquid aliqua multiplicatione metimur, metiri nos etiam singularitate posse, non, ubicumque singularitatis mensura est, esse alicuius etiam multiplicationis. ita singularitas omnibus communis mensura, quibusdam unica est. 751 cum hoc ita sit, per se incompositi numeri dicuntur, qui nullam mensuram habent nisi singularitatis; per se vero compositi, quos metiri non tantum singularitate, sed alia quoque multiplicatione licet. et haec quidem singulorum numerorum aestimatio est. bini vero pluresve iuncti inter se incompositi esse dicuntur, qui nullam communem mensuram nisi singularitatis habent, ut III et IIII. neque enim interest, an IIII dupli mensuram habeant, cum eadem illa in tribus non sit. at inter se compositi sunt, quibus alia quoque quam singularitatis mensura communis est, ut VIIII et XII, quorum utrumque licet triplicatione metiri, cum ter terna VIIII, ter quaterna XII fiant. 752 cum vero alii numeri in singula tantum, alii etiam in aliquos solidos numeros dividantur, ut re ipsa discreti sunt, sic etiam vocabulis discernam, ne qua indiligentibus confusio oriatur, et cuiusque numeri membra nominabo solidos numeros, in quos is diduci poterit, ut in XII fiunt; at singula et si qui etiam solidi numeri immixti singulis inserentur, partes appellabo, ut in VII vel totidem singula vel etiam bis terna singulo adiecto. 753 Ex numeris quidam perfecti sunt, quidam ampliores perfectis, quidam imperfecti: τελείους et ὑπερτελείους et ὑποτελείους Graeci appellant. perfecti sunt, qui partibus suis pares sunt, ampliores perfectis, qui plus in partibus suis quam in se in ipsis habent, imperfecti, in quorum partibus minus quam in ipsis est. et exempli causa sumamus sex. hi et in singula dividi possunt et in bina et in terna, cum et sexies singula et ter bina et bis terna fiant sex; ergo partes eius sunt I, II, III. nunc in unum eae conferantur, fiunt VI: hoc est parem esse partibus suis, et hoc numeri genus in aliqua virtute est, cetera in vitio vel ex superante vel ex deficiente, ut puta sumamus XII. et duodecies singula et sexies bina et quater terna et ter quaterna et bis sena XII fiunt. itaque eius partes sunt I, II, III, IV, VI, quae iunctae in unum XVI efficiunt; hic amplior perfecto numerus est. at XVI fiunt iunctis sedecies singulis, octies binis, quater quaternis, bis octonis, neque praeter has [si facias] ulla eius numeri mensura est. collati autem in unum I, II, IIII, VIII non ultra faciunt quam †minus quo ex quo orti sunt. hic imperfectus numerus est. 754 Alii etiam plani numeri sunt, alii crassitudinem quoque in se habent. planum numerum esse Graeci dicunt, qui a duobus numeris continetur. id eiusmodi est: in ratione mensurarum tantum de norma contineri, quantum a toto quadriangulo, cuius pars in ea norma sit, existimant. item ad numeros plani feruntur, qui in duo latera ordinantur sic, ut rectum angulum faciant et normae similitudinem repraesentent. igitur si in alterum latus IIII, in alterum III porriguntur, hi duo numeri lege eorum XII capiunt, planumque eum numerum nominant. at crassitudinem aiunt a tribus numeris. sint in alterum puta latus IIII, in alterum III, supra deinde quattuor adiciantur. his numeris altitudinem quoque super inferiorem normam impleri dicunt includique viginti quattuor. in quibus, obscuritate ex supervacuo quaesita, evidentissimum est planum esse numerum sic singulis iunctis ne quid super alterum sit, crassitudinem fieri numero super numerum impositis. 755 ipsa autem planities varias formas habet, numeris ad similitudinem aliquarum figurarum ordinatis, quae incipiunt a linea, tum vel triangulae fiunt; atque eae, quae quattuor angulos habent, vel quadratae sunt vel altera parte longiores, quas ἑτερομήκεις Graeci appellant. praeterea plures quoque anguli possunt interdum etiam inaequalia numeri latera esse. at cum deinde crassitudinem insurgat figurasque plures efficiat, tessera perfectissima esse inter eas videtur. est autem triangulum in paucissimis tribus, quadratum in paucissimis IIII, id autem quod imparia latera habet in paucissimis v, altera parte longius quadriangulum in paucissimis sex; crassitudo item, quae tessera, in paucissimis octo. nam duo simplicem ordinem faciunt; tres sic componi possunt ut totidem angulos habeant; quattuor in quadrum positi in omnem partem binos habent; quinque sic colligantur, ut in altero latere duo, in altero tres sint; sex, ut quadriangulum faciant, quod in duobus lateribus binos, in duobus ternos habet. at si quattuor ponuntur, et crassitudo oritur et paria omnia latera in planitiem atque altitudinem sunt, binis in omnem partem ordinatis. 756 similes autem plani numeri sunt, quorum latera eandem rationem habent, ut VI et DC, cum illis in altero latere II et altero III, his in altero CC, altero CCC sint. eodemque modo similes etiam in crassitudine numeri sunt, quorum latera sub eadem ratione sunt, ut viginti quattuor et nonaginta sex. nam ut in illis alterum latus IIII et alterum III habet, quo fit, ut planities XII, crassitudo XXIIII capiat, sic in his alterum latus VIII, alterum sex recipiat, quo fit, ut planities XLVIII, crassitudo XCVI comprehendat. quae est autem inter duos et tres, CC et CCC ratio, quae est inter III et IIII et VI et VIII manifestum erit, simulatque rationes, quae inter numeros sunt, subiecero. 757 Omnis enim numerus pars est alicui numero maiori; aut multiplicatione procedit, aut ratione membrorum aut partium, aut simul et multiplicatione et ratione membrorum vel partium. ratio membrorum in uno membro pluribusve, ratio partium in una parte pluribusve est. minor vero numerus aut replicatione minuitur aut ratione membrorum vel partium, interdum etiam simul replicatione et ratione aut membrorum aut partium. neque ulla ratio numeri ad numerum non intra haec est. Graeci multiplicatos numeros πολλαπλασίους, replicatos ὑποπολλαπλασίους, membro membrisve antecedentes ἐπιμορίους membro membrisve inferiores ὑπεπιμερεῖς appellant, binis deinde nominibus utuntur in his, in quibus binae rationes sunt. 758 cum hoc ita sit, numerus comparem rationem habet aequalitatis, quam ἰσότητα Graeci vocant, ut duo ad duos, tres ad tres; quae ratio etiam perfecto numero ad suas partes est, ideoque is numerus potior ceteris habetur. quid enim aequo esse melius potest? at ubi alter numerus maior, alter minor est; protinus inter eos distantia est, quod in omnibus fit, qui ratione membrorum vel partium aut antecedunt aut anteceduntur; ideoque hi numeri peiores sunt, inter quos partesque eorum aliquod discrimen erit. sed ut distantia inter duos numeros maiorem minoremque eadem est, sic ratio inter eosdem contraria est; tantundem enim distat inter tres et quattuor, quantum inter quattuor et tres, at ratio inter hos ipsos diversa est, eaque quae sit infra patebit. 759 Cum proposuerim vero primas in multiplicatione rationes esse, multiplicationis ratio est senioni ad ternionem, octonario numero ad quaternarium; contra replicationis ternioni ad senionem, quaternario numero ad octonarium. membrorum vero ratione vincit is numerus, qui solido membro membrisve antecedit, qualis est novenarius ad senarium; ternione enim vincit, quae eadem bis in senario numero invenitur, contraque membrorum ratione vincitur a novenario senarius. at partium ratione vincit, qui in se et ipsum minorem numerum habet et aliquam partem eius partesve, ut si VII cum IIII conferantur; siquidem in septenario numero et IIII sunt et horum III partes. contra ergo partium ratione vincuntur IIII a VII. at idem numerus et multiplicatione et membrorum ratione antecedit, si puta VIII et III iunguntur; nam VIII et bis terna habent et praeterea membrum in duobus. et multiplicatione vero et partium ratione vincunt v, si conferantur cum duobus; nam in quinque bis bina sunt et praeterea duorum pars una. contra in his ipsis numeris minores a maioribus simul et replicatione vincuntur et aut membrorum ratione aut partium. 760 sed ut genera rationum inter numeros haec sunt, sic species in singulis plures. nam ut ad multiplicationem primum replicationemque veniamus, inter hos aut dupli ratio est aut tripli aut quadrupli, ac procedere quoque ultra multiplicatio potest, per eosdemque rursus gradus idem numerus replicatur. ergo rationem habent duplo maiorem duo ad unum, IIII ad duos, VIII ad IIII; duplo minorem unus ad duos, duo ad IIII, IIII ad VIII; item triplo maiorem III ad I, VIIII ad III; triplo minorem I ad III, III ad VIIII; quadruplo minorem I ad IIII, IIII ad XVI; eademque in ulterioribus multiplicationibus et incrementi et deminutionis ratio est. 761 At ubi inter maiores minoresque numeros ratio membrorum est, maior aut superdimidio vincit, quem ἡμιόλιον, aut supertertio, quem ἐπίτριτον, aut superquarto, quem ἐπιτέταρτον Graeci vocant, et sic ad superquintum, supersextum ulterioresque ratio procedit. superdimidius est, qui ipsum aliquem numerum et dimidium eius habet; supertertius, qui ipsum aliquem et tertiam eius; superquartus, qui ipsum aliquem et quartam eius; eademque in ulterioribus ratio est. contra ex isdem numeris minor maiori aut subdimidius est, quem ὑφημιόλιον, aut subtertius, quem ὑπότριτον, aut subquartus, quem ὑποτέταρτον Graeci appellant. superdimidii rationem habent tres ad duos, CCC ad CC, quorum supra facta mentio est; contra subdimidii duo ad tres, CC ad CCC. at supertertii IIII ad III, VIII ad VI, qui ipsi quoque supra positi sunt; subtertii III ad IIII, VI ad VIII; superquarti V ad IIII, X ad VIII; subquarti IIII ad V, VIII ad X. 762 Partium vero ratio proxima in quibusdam numeris supertertio est, in quibusdam superquarto, idque procedere ultra potest. supertertio similis est, ubi maior numerus minorem ipsum et aliquas eius tertias partes comprehendit, superquarto, ubi et illum ipsum et quartas eius. sumamus V et III et X et VI. antecedit quinarius ternionem, quod et illam ipsam et eius duas tertias habet. item in decus sunt et VI et de sex duae tertiae. at proxima superquarto ratio est inter septem et IIII, inter XIIII et VIII. in VII et ipsa IIII sunt et eius tres quartae. [atque ut ea ratione, quae supertertiae et superquartae proxima est, maiores in his numeris vincunt, sic rationem proximam subtertiae et subquartae minores cum maioribus habent]. illo neminem decipi convenit, ut aliquam partium rationem superdimidiae similem putet; nam si numerus aliquis numerum aliquem et dimidium eius habet, superdimidius est: si numerum aliquem et eius duo dimidia habet, duplus est. nec ut duae quidem tertiae rationem supertertio proximam habent, sic duae quartae rationem superquarto proximam recipiunt. nam si quis ipsum et eius duas quartas habet, superdimidius est, ut sunt VI et IIII: in sex enim et quattuor sunt et eius duae quartae. contra vero ut ea ratione, quae supertertiae et superquartae proxima est, maiores in his numeris vincunt, sic rationem proximam subtertiae et subquartae minores cum maioribus habent, eademque ratio procedit, sicut superquintae ulterioribusve similis est. 763 Hinc rursus plura discrimina oriuntur, siquidem unus numerus potest duplo geri et aut superdimidio aut supertertio aut superquarto ulterioribusve et multiplicationum et membrorum rationibus. ponamus IIII et X: ex his X duplo et superdimidio aucti sunt; nam bis quaterna VIII sunt, deinde dimidium IIII fit in duobus. at ponamus IIII et XIIII: ex his XIIII triplo et superdimidio aucti sunt; nam ter quaterna XII sunt, deinde dimidium quattuor fit in duobus. progrediamur ultra usque IIII et XVIII: ex his XVIII quadruplo et superdimidio increverunt, nam quater quaterni XVI sunt: deinde dimidium quattuor fit in duobus. at sint III et VII: ex his VII duplo aucti sunt et supertertio, nam bis terna VI sunt: deinde pars tertia trium fit in uno. sint III et X: ex his X triplo increverunt et supertertio, nam ter terna VIIII sunt, et deinde pars tertia trium fit in uno. ponantur III et XIII: ex his XIII quadruplo aucti sunt et supertertio, nam ter quaterna XII sunt, deinde pars tertia trium fit in uno. accipiamus nunc IIII et VIIII: ex his VIIII et duplo plus habent et superquarto, nam bis quaterna VIII sunt, deinde IIII quarta pars est in uno. IIII vero et XIII tripli et superquarti, item IIII et XVII quadrupli et superquarti ratio est. idemque in ulterioribus numeris fit, perindeque numeri minores ex iis et replicationis alicuius et subdimidii vel subtertii vel subquarti vel alicuius ulterioris rationem cum maioribus habent. 764 ut apparere autem ex his potuit, multiplicatio a minima ratione incipit et subinde ad maiores maioresque transit [ratio membrorum vel partium]; replicatio a maxima ratione incipit et subinde ad minores minoresque transit. maior ratio dicitur, quae plus, minor, quae minus adicit; ergo maior ratio tripli quam dupli, maior quadrupli quam tripli est; contra minor dupli quam tripli, minor tripli quam quadrupli est. 765 incipit igitur multiplicatio a duplo, inde ad triplum, ad quadruplum semperque ad maiores rationes transit. at ratio membrorum incipit a superdimidio, deinde supertertium, superquartum semperque ad minus et minus pervenit. quae omnes inter duos fines sunt. †ita numeri sunt†ut puta dupli ratio est inter II et I, tripli inter III et I, quadrupli inter quattuor et I, et sub isdem rationibus †nominum fines minimi suaque comparatione multo minores vel sub duplo quam duo et I, vel sub triplo quam III et I, vel sub quadruplo quam IIII et I possunt. super hos deinde quantumlibet isdem rationibus solvis <---> fines his numeris augentur. ideoque †ii eas fines, qui minime eunt pythagoricus thermacides nomina dant,†quod ut vas super suum fundum, sic numeri rationis eiusdem super istos adiunguntur. 766 idemque etiam ratione membrorum. minimi enim fines sunt superdimidii inter II et III, supertertii inter III et IIII, superquarti inter IIII et V, tum [deinde] sub isdem rationibus numeri complentur. neque alia condicio est, quae ipsa incipit a tertia parte, sicut membrorum ratio de hemiolio, deinde primum minimos fines comprehendit, 767 tum ad maiores transit. ex his autem veri simile est primam multiplicationem esse inventam, deinde rationem membrorum, tum partium. neque enim difficultas ad duplum, deinde triplum et quadruplum apparuit. tum ex duplo superdimidii facta cognitio, ex triplo superquarti est, idemque in ulterioribus incidit. nam qui duplum videbat, hoc ipso coepit intellegere dimidium, quia ut duplum quattuor duorum sunt, sic dimidium quaternionis duo. ut igitur duo duobus adiciendo quattuor fecit, sic rursus quaternioni duos adiciendo fecit superdimidium, utque ex duobus triplo sexis implevit, sic senario numero duos adiciendo supertertium invenit, idemque in ulterioribus incidit. deinde cum incurrerent numeri †sine iudicii quidem rationibus†positi, quaesitum est, quot quotaeve partes alterius numeri in altero essent. ex his eo ventum est, ne cuius numeri non aliqua ratio ad alium numerum exploratissima sit; post haec non difficillima animadversio gemina ratione in numeris fluxit. 768 Quoniam genera numerorum rationumque inter eos orientium exposui, rursus ad ea singula revertar, et quae in quoque animadversiones sint indicabo. incipiam de paribus atque imparibus. par omni multiplicatione sic procedit, ut par maneat. duplo augentur II et IIII et VIII et XVI, triplo II, VI, XVIII, quadruplo I, IIII, XVI, LXIIII, CCLVI, idemque in ulterioribus fit. at impar pari multiplicatione protinus interit et in numerum parem recidit; impari multiplicatione increscere potest, ut impar maneat. nam bis terna sex, item bis quaterna VIII fiunt, eodemque modo quater terna XII, quater quina XX; at ter terna VIIII, et ter VIIII XXVII; item quinquies terna XV, quinquies quina XXV, idemque in omnibus multiplicationibus evenit. quo fit ut, sive par sive impar parium numerorum multitudo est, id quod consummatum est par sit, ut II, IIII, VI, VIII, quae par numerorum multitudo est, fiunt XX; II, IIII, VI, quae impar numerorum multitudo est, XII, ambo numeri pares. 769 item par imparium numerorum multitudo pares facit; ergo III et V fiunt VIII, qui pares sunt. impar tantummodo imparium multitudo impares servat; nam III et V et VII fiunt XV, illi quoque impares. eadem de causa quotiens par numerus vel parem vel imparem multiplicat, is qui efficitur par est. nam duplicatio, sive duo multiplicavit, fecit IIII, sive III, fecit VI, ambos pares. at impar numerus, si parem multiplicat, facit parem, si imparem, tum demum imparem reddit. nam triplicatio, si duos multiplicat, efficit VI, ipsos quoque pares; si III, efficit VIIII, qui impares sunt. 770 tum si pari par adicitur, par manet, ut, duobus IIII adiciantur, sunt VI. si impari impar adicitur, par fit, ut, si tribus v adiciantur, sunt VIII. uno autem modo impar numerus procedit, si numero numerus non adicitur eiusdem generis, sed pari , impari par. nam sive IIII quis adiectis tribus auxerit, sive III adiectis IIII, fient VII, qui impares sunt. deinde numero pari quale demitur, tale superest: numero impari contrarium est, ne quod demitur supersit. ergo si pari par demitur, id quod superest par est, ut si ex VIII duo auferantur, supersint VI. si numero pari impar demitur, id quod superest par est, ut si ex VII III auferantur, supersint IIII. si numero impari par demitur, id quod superest impar est, ut si ex VII duo auferantur, supersint V. 771 Par deinde ex paribus est numerus quisquis dimidium par habet, ut est in XII, quorum dimidium in senario numero est, ipso quoque pari. item par ex paribus est quisquis a duobus duplo increvit, ut IIII, VIII, XVI, aut quisquis ab aliis sic increvit, uti recidere in parem possit, quod evenit etiam quadruplo vel octuplo similibusve auctis. at quisquis numerus dimidium impar habet, par ex imparibus est, ut senio cuius dimidium in tribus est. si quis vero neque duobus per duplicationem increvit nec dimidium impar habet, par quidem ex paribus est, oritur tamen ab eo, qui par ex imparibus est, ut XII. hic enim numerus neque per duplicationem a duobus ortus est neque dimidium impar habet, sed a senario numero per duplicationem increvit; ille autem par ex imparibus, id est ternis, est. 772 Transeamus nunc ad numeros incompositos , quos etiam primos secundosque nominare proposui. incompositi per se numeri nulli pares sunt exceptis, ut supra posui, duobus; ceteri quicumque per se incompositi sunt, omnes impares sunt, ut III, V, VII, XI, XIII, XVII, XVIIII similesque. per se vero compositi numeri sunt omnes pares, qui vel ex paribus vel ex imparibus sunt. nam et IIII atque VIII duplicatione metimur, quorum alter numerus in binos, alter in quaternos replicatur; et idem facere in VI aut X facile est, cum ille in ternos, hic in quinos resolvatur. praeter hos multi impares per se compositi sunt, id est quicumque impari numero multiplicantur. nam sive ternio sive quinarius numerus sive quis alius impar impares numeros multiplicavit, qui sic effectus impar est et per se compositus. multiplicet ternio se ipsum, fiunt ter terna VIIII. multiplicet quinarius numerus se ipsum, fiunt quinquies quina XXV. at multiplicet vel ternio quinarium numerum vel quinarius numerus ternionem, fiunt XV; omnesque ii numeri VIIII XXV XV per se compositi sunt, et quicumque impares sortis eiusdem sunt. 773 inter se vero incompositi nulli duo pares sunt, sive ex paribus sive ex imparibus sunt, quia nulli non aliquam communem mensuram habent. nam ut sumamus duos pares numeros, alterum ex paribus, alterum ex imparibus, id est IIII et VI, tamen inter se compositi sunt, quia communis iis duplicatio est, qua bis bina IIII, bis terna VI sunt. at impares primum omnes, qui per se incompositi sunt; neque enim possunt aliquam communem mensuram praeter singularitatem habere, qui ne propriam quidem ullam habent. ergo III, V, VII similesque omnes, ut per se, sic etiam inter se incompositi sunt, et in eadem sorte is quoque numerus est, qui par sub eodem iure est, duo; nam ne hic quidem cum tribus aut quinque aut consimili componitur. 774 tum quisquis ex his numeris, qui per se incompositi sunt, iungitur cum altero numero, quamvis per se incomposito, efficit, ut ii duo numeri inter se incompositi sint, ut si III et IIII iungantur. quid enim interest, an alteri mensura aliqua praeter eandem singularitatem sit, si alteri non est? ac licet etiam duo pluresve numeri non per se tantum, sed etiam inter se incompositus efficit, ut omnes inter se incompositi sint, quia quamvis aliqua mensura pluribus communis, nulla tamen omnibus praeter singularitatem. quod evenit, si IIII, VI, VIII et quotlibet similes ponantur, adiciantur deinde iis III; nam quamvis tres priores numeri inter se componi possunt, tamen quattuor hi inter se non componuntur. 775 non tantum vero adiectio eius numeri, qui per se incompositus est, efficit ut plures numeri inter se non componantur, sed potest etiam evenire, ut qui per se compositi sunt, in unum dati inter se incompositi sint, ubi quamvis aliquas mensuras, diversas tamen recipiunt; idque evenit et inter impares duos numeros et parem atque imparem. sumamus VIIII et XXV; horum uterque per se compositus est, habet enim mensuram novenarius numerus in ternione, habent XXV in quinario numero. inter se tamen hi non componuntur, quia neque VIIII quinarii numeri mensuram neque XXV ternionis admittunt. idem fit inter VIII et VIIII, parem atque imparem numerum, nam neque duplicatione aut quadruplicatione VIIII, neque ternione VIII metiri possumus. itaque per se etiam inter se incompositi sunt; qui per se componuntur, non protinus etiam inter se componi possunt. 776 Compositi vero inter se sunt omnes pares, ut apparere supra quoque potuit, quicumque vel ex paribus vel ex imparibus sunt; deinde quidam impares, ut VIIII et XV, cum uterque numerus in ternos recidunt; tum quidam pares et quidam impares, ut VIIII et XII, siquidem his quoque triplicatio communis est: ter terna VIIII, ter quaterna XII sunt. illud animadversione dignum est, quod cum impari numero numquam is par componi potest, qui ex paribus, sed qui ex imparibus ortus est; adeo mutata quoque sorte iuris tamen aliqua societas superest. ergo VIIII neque cum IIII neque cum VIII neque cum XVI neque cum ullo simili numero componi possunt; componuntur vero cum XII et XXIIII, quae a tribus initium sumpserunt. 777 ac ne cum omnibus quidem, qui pares ex imparibus sunt, componi potest omnis impar numerus, qui per se compositus est, quia potest non in eandem mensuram recidere. ergo VIIII et L componi non possunt, quia L nullam triplicationem recipiunt, quae novenario numero sola praeter singularitatem mensura est; evenit autem hoc, quia ne XXV quidem, quae duplicata L fecerunt, ternionem recipiebant. ergo siquando impar numerus, ex quo par factus est, eandem mensuram, quam alter impar tenet, habuerit, tum demum cum illo impari par, qui ex hoc factus est, componi potest; ubi illud non antecessit, ne hoc quidem sequitur. ideo VIIII et L inter se non componuntur; at VIIII et XXX inter se componuntur, orta sunt enim XXX duplicatis XV, iam autem VIIII et XV inter se componi poterant, cum communis his mensura in ternione esset. ex his cetera oriuntur, quae ad hoc genus numerorum pertinent. 778 Ex duobus numeris inter se incompositis, sive uterque sive alter per se compositus est, mensura alterius cum altero non componitur. sint IIII et VIIII; hi per se compositi, inter se incompositi sunt. mensura autem quattuor in duobus, nonus in tribus est, neque duo vero cum VIIII, neque III cum IIII componuntur. at sint V et IIII, alter per se incompositus; mensuram quaternio habet in duobus; duo autem et V non componuntur. Si duo numeri inter se incompositi sunt et alter ex his se ipsum multiplicaverit, is qui sic effectus est cum priore illo non componitur. sint III et IIII: hi inter se incompositi sunt. sive ternio se multiplicarit, VIIII et IIII, sive quaternio idem fecerit, XVI et III inter se incompositi erunt. Si duo numeri inter se incompositi se ipsos multiplicarint, qui ex his fient inter se incompositi erunt, ut si eosdem III vel IIII sumpserimus et uterque se multiplicarit, VIIII quoque et XVI inter se incompositi erunt. 779 Si duo numeri inter se incompositi sunt et alter ex his se multiplicarit effectusque numerus rursus ipse se multiplicarit, qui sic effectus est numerus cum altero illo non componitur. sint II et III; uterlibet numerus se multiplicet, fiunt bis bina IIII, ter terna VIIII; rursus hos numeros idem multiplicent, fiunt bis quaterna VIII, ter VIIII XXVII. sumantur nunc II et XXVII vel III et VIII: aeque inter se incompositi sunt. Si duo numeri inter se incompositi sunt et uterque se multiplicarit, deinde effectum ex se rursus multiplicaverit, hi quoque, qui sic effecti sunt, , ut in iis ipsis, qui supra positi sunt. nam ex duobus VIII, ex tribus XXVII sic facti inter se non componuntur. Si duo numeri inter se incompositi sunt et in unum iunguntur, hic numerus, qui sic effectus est, componi cum alterutro ex prioribus non potest. sint III et V; in unum iungantur, fiunt VIII; hi neque cum v neque cum tribus componi possunt. 780 Si numerus in duos inter se incompositos divisus est, componi cum alterutro eorum non potest. dividantur VIIII in IIII et v; neque cum IIII neque cum V componi VIIII possunt. Si duo numeri cum tertio iuncti sic fuerint, ut omnes inter se incompositi sint, deinde ex duobus alter alterum multiplicarit, qui sic effectus erit, aeque cum eodem illo tertio componi non poterit. sint duo numeri IIII et VIII, adiciantur his III: inter se incompositi sunt. multiplicent duo priores alter alterum; quater VIII aut octies quaterna fiunt XXXII; hi et III inter se incompositi erunt. 781 Omnis numerus, qui per se incompositus est, componi cum altero non potest, nisi cuius ipse mensura est. <---> ergo componuntur III ad VIIII, v ad XV, quia ter terna VIIII, quinquies terna XV sunt <---> in quo numero quid eius non habebunt, cum eo componi non poterunt. Si duobus numeris positis minor e maiore detrahitur, et is, qui superest, non est mensura eius, qui proximus ante eum demptus est, hi numeri inter se incompositi sunt. sint III et VIII; tollantur ex maiore numero terni quotiens possunt, supersunt duo; in his trium mensura non est. ergo III quoque et VIII inter se incompositi sunt. Si tres iuncti sint ex omnibus, qui sub eadem ratione sunt, ex his duo quilibet in unum dati cum tertio non componuntur. sint tres numeri VIIII, XII, XVI; horum insequens semper priori supertertius est, nec ulli tres minores sic iuncti reperientur. confundantur in unum VIIII et XIII: fiunt XXI. hi cum XVI non componentur. 782 Si impar numerus cum aliquo componi non potest, nec cum duplicato quidem eo componitur. sint V et VIII; hi inter se incompositi sunt. duplicantur VIII, fiunt XVI: nec cum his quidem quinque componi possunt. Si duo et alteri duo numeri ponuntur sic, ut neuter ex prioribus cum alterutro ex insequentibus componi possit, ne is quidem, qui ex duobus prioribus factus est, componi cum alterutro insequentium potest. sint duo numeri IIII et VIII, itemque alii duo V et VII; neuter ex prioribus componi cum alterutro insequentium potest. confundantur in unum IIII et VIII; fiunt XII: ne hi quidem cum V aut VII componuntur. 783 Minimi numeri ex his, qui sub eadem ratione sunt, inter se incompositi sunt, ut in dupli ratione minimi sunt II et IIII, in tripli II et VI, hique inter se non componuntur. at quamvis magni numeri sumantur, qui inter se incompositi sunt, minimi sunt ex omnibus, qui sub eadem ratione sunt. sint CC et CI; hi inter se non componentur; est autem inter eos partium ratio, quod CC C et I dimidio et XCVIIII partibus antecedunt, neque id esse inter ullos minores numeros potest. 784 cum vero mensurae ratio efficiat, ut quidam per se incompositi compositive, quidam inter se incompositi compositive sint, non alienum videtur de mensuris protinus subicere. Omnis numerus aut per se incompositus est aut, si per se compositus est, in aliquo per se incomposito mensuram habet, ut VIIII quique ab eo per triplicationem increscunt in tribus, item XV in V. sed eorum, qui pares ex paribus sunt, minima mensura in duobus est; eorum qui pares ex imparibus aut etiam impares sunt, potest minima mensura etiam in maioribus numeris esse, omnibus tamen imparibus. unius autem compositi mensura vel minima vel maxima facile reperitur. replicato enim numero proxima mensura maxima, ultima minima est. ut puta sint quinquaginta; hi replicentur: dimidia pars eorum XXV; in his maxima mensura est. rursus animadvertamus, quas inferiores mensuras habeant: sunt autem decies quina L, item quinquies dena, item bis quina vicena; nec ulla ex his minor est ea, quae ex duobus est: haec igitur minima mensura quinquagenarii est. 785 At si duo numeri inter se compositi sunt, maior et minor, quomodo reperiatur communis his maxima minimaque mensura quaeri potest. oportet autem maiori numero minorem detrahere quotiens potest; deinde quantum ex priore superest, tantundem demere ex minore quotiens potest. qui supererit numerus, is erit eorum numerorum mensura maxima. sint duo numeri CCCL et C; demantur ex CCCL quotiens possunt centeni, id est ter: reliqui sunt L. ex altero centenario numero detrahantur L, supererunt ex eo L. hic numerus CCCL et C communis mensura maxima est; nam quinquagiens bina centum, quinquagiens septena CCCL sunt. ex hoc etiam illud apparet, quod quisquis numerus minor maxima mensura duos numeros metitur, <---> quoque eorum mensuram metietur. minima autem mensura eorundem numerorum sic invenitur: ubi maxima reperta est, illius ipsius minima quaeritur; eadem etiam prioribus numeris communis minima est, ut hic quoque minima quinquagenarii mensura in duobus est; igitur eadem etiam priorum numerorum minima mensura est. 786 At trium numerorum, qui inter se compositi sunt, maxima minimaque mensura sic invenitur: duorum mensura maxima quaeritur; si ea tertio quoque eorum minimo communis, repertum id, quod desideratum, est; si non est, medii minimique maxima mensura eodem modo requiritur, eaque tribus omnibus communis est. sint tres numeri CCCL, C, LXXV: quaesita mensura maxima sit communis his qui CCCL et his qui C sunt, repertaque sit in quinquagenario numero. consideremus, an hic tertium illum, qui LXXV habet, metiatur. si metiretur, omnibus tribus communis esset; non metitur autem. ergo iungimus C et LXXV, et horum maximam mensuram requiramus. demo ex C LXXV; supersunt XXV. hos quotiens possum demo ex eo numero, qui LXXV habet, id est bis; supersunt XXV. hic numerus maxima mensura est communis his qui C et his qui LXXV sunt; in his etiam omnium trium numerorum maxima mensura communis est. nam vicies quinquies terna LXXV sunt, vicies quinquies quaterna C, vicies quinquies quaterna dena CCCL. consideremus nunc horum XXV quae minima mensura sit: ea pervenire neque ad duos neque ad tres neque ad quattuor potest, sed est in quinario numero; et haec eadem mensura minima communis omnibus tribus superioribus numeris reperietur. nam duo, qui et CCCL et C metiuntur, LXXV non metiuntur; III, qui LXXV metiuntur, CCCL et C non metiuntur; IIII, qui C metiuntur, rursus CCCL et LXXV non metiuntur. V primum omnes illos metiri possunt, quia quinquies quina dena LXXV, quinquies vicena C, quinquies septuagena CCCL sunt. 787 Duobus vero numeris datis, quem minimum illi metiantur, sic invenitur: sint dati numeri duo et III. hi inter se incompositi sunt; ex his alter alterum multiplicet: bis terna vel ter bina fiunt VI. hic minimus numerus est, quem illi duo metiantur. maximum quem metiri possint nemo dixerit, sed omnem idem numeri metientur, quicumque senario numero multiplicato fiet. at dentur duo numeri inter se compositi VIIII et XII; simili multiplicatione eodem non pervenitur, quia potest etiam minor numerus quam qui sic efficitur in his mensuram habere; alia igitur via reperiendum est. 788 videamus, qui minimi numeri sub eadem ratione qua hi sint. est autem [in] novenario numero minimus rationis eiusdem in tribus, duodenario in duobus. nunc multiplicet ex minoribus numeris uterlibet non suum numerum, sed alienum, id est vel III XII vel II VIIII; ter duodena XXXVI, bis novena XVIII. ex his consideremus, an minor numerus, qui est XVIII, mensuram habeat et in VIIII et in XII; habet autem in VIIII, in XII non habet. dimittatur igitur, et maior apprehendatur, qui est XXXVI. hic minimus est, quem metiri et VIIII et XII possint: nam et novies quaterna et duodecies terna XXXVI sunt. eadem ratione omnem numerum, quicumque XXXVI multiplicatis fiet, idem illi duo numeri metiuntur. 789 Tribus autem numeris datis numerus quem minimum illi metiantur sic invenitur: sint dati tres numeri II III IIII; sumatur is numerus, qui minimus et in duplicatione et in triplicatione mensuram habet: is est senarius. consideremus, an hunc etiam tertius ex tribus, id est quaternio, metiatur. si metiretur, repertum id esset, quod requisitum est. nunc non metitur; aspiciamus ergo, quem minimum IIII et III metiantur: is est XII; ergo idem minimus, quem omnes illi tres metiri possint, nam et bis sena et ter quaterna et quater terna XII fiunt. et hinc quoque omnem numerum, qui XII multiplicatis fiet, idem illi numeri III metiuntur. 790 Ubi duo numeri numerum aliquem metiuntur, qui minimus in illis duobus mensuram habet, eiusdem illius numeri mensura est. sint dati XII hos et II et III metiuntur. minimus autem numerus, quem illi duo metiuntur, senarius; atquin idem etiam XII metitur; nam sexies bina XII sunt. idem fit in eo numero, quem tres aliqui metiuntur; nam hunc quoque metitur qui minimus in illis tribus mensuram habet. ponantur XXIIII; hos et II et III et IIII metiuntur; minimus autem numerus, qui in isdem illis tribus mensuram habet, est XII. atquin hic quoque eos qui XXIII sunt metitur; nam duodecies bina XXIIII sunt. 791 Si bini numeri maiores minoresque ponuntur sic, ut eadem ratio inter maiores minoresque sit, quotiens maior maiorem, totiens minor minorem metitur. sint numeri II et III, deinde VIII et XII. eadem inter maiores minoresque numeros ratio est; nam et III duobus et XII his qui VIII sunt superdimidii sunt. metiuntur autem III eos qui XII sunt quater; nam quater terna XII sunt. atqui duo quoque qui VIII sunt quater metiuntur; nam quater bina VIII sunt. quoties singularitas aliquem numerum metitur, 792 totiens alius numerus metietur, eveniet ut, quotiens singularitas ex secundis priorem numerum metietur, toties is, qui ante in singularitatis mensuram venerit, ulteriorem numerum metiatur. sint I et V et VI et XXX. singularitas quinarium numerum quinquies metitur, idem facit senio in XXX; rursus ipsos sex singularitas sexies metitur; atquin quinarius quoque numerus sexies metitur eos qui XXX sunt. 793 Si duo numeri alter alterum multiplicant, eum vero numerum, qui sic effectus est, aliquis qui per se incompositus est metitur, idem necesse est etiam utrumque ex prioribus metiatur. multiplicet decus octonarius numerus, fiunt LXXX: hos duo metiuntur, nam bis quadragena LXXX sunt; atquin idem II VIII quoque et X metiuntur, cum bis quaterna octo, bis quina X fiant. 794 Quotienscumque numeri portionis eiusdem, quam ἀναλογίαν Graeci vocant, in ordinem ponuntur, primus si ultimum metitur, secundum quoque et deinceps omnes metietur; si secundum metitur, ultimum quoque et medios metietur; si quemlibet denique unum metitur, omnes metietur. contra si ultimum non metitur, ne secundum quidem neque quemquam alium; si secundum non metitur, ne ultimum quidem aliumve; si quem medium non metitur, ne alium quidem. sint III et VIIII, XXVII, LXXXI, CCXLIII; inter hos omnes tripli ratio est; ternio autem metitur eos, qui CCXLIII sunt; ter octogena singula CCXLIII sunt; idem ergo metitur novenarium numerum, cum ter terna VIIII sint; et quia hunc metitur, etiam ultimum, et quia utrumlibet, etiam ceteros, et quia medium quemvis ex illis, et priores quoque et ulteriores. at duo, quia non metiuntur CCXLIII, ne VIIII quidem aut medios; quia VIIII non metiuntur, ne CCXLIII quidem aut medios; quia nullum ex mediis metiuntur, ne ulteriores quidem. 795 Si quotlibet ab uno numeri conveniunt portionis eiusdem, quot per se incompositi numeri ultimum numerum, totidem etiam eum qui ab uno proximus est metientur. sint numeri qui duplo increscunt I, II, IIII, VIII, XVI; ex his eos qui XVI sunt II, et idem se ipsos metiuntur. at sint I, XII, CXLII, MDCCIIII: sunt, per se incompositi numeri II et III, quia bis octingentena quinquagena bina MDCCIIII sunt: itemque ter quingentena sexagena octona. atquin idem II et III XII quoque, qui ab uno proximi sunt, metiuntur, cum bis sena et ter quaterna XII sint. 796 Si quotlibet ab uno numeri portionis eiusdem sunt, minor numerus maiorem semper per aliquem aliorum, qui sub eadem portione sunt, metitur. sint I, II, IIII, VIII, XVI, XXXII, LXIIII. ex his II eos qui IIII sunt, IIII eos qui VIII sunt, VIII eos qui XVI sunt, XVI eos qui XXXII, XXXII eos qui LXIIII sunt, duplicatione metiuntur at II eos qui VIII sunt quadruplicatione metiuntur: eadem eos qui XVI sunt metiuntur qui IIII sunt; VIII eos qui XXXII sunt, XVI eos qui LXIIII sunt. itemque octuplicatione metiuntur II eos qui XVI sunt IIII eos qui XXXII sunt, VIII eos qui LXIIII sunt, neque invenitur numerus, qui non et maiorem metiatur, et nulla alia mensura id faciat, quam quae in isdem numeris est. 797 Si quotlibet ab uno numeri portionis eiusdem sunt, et is, qui ab uno proximus est, per se incompositus est, maximus ex his in mensuram non veniet nisi , qui eiusdem portionis erunt. sint I, III, VIIII, XXVII: inter hos tripla portio est, et uni proximus numerus per se incompositus est. igitur eos, qui XXVII sunt, nullus numerus metiri potest nisi aut III aut VIIII, qui sub eadem portione sunt. quod non ita evenit, si quando ab uno proximus numerus compositus est. sint I, IIII, XVI, LXIIII: proximus ab uno numerus per se compositus est: ergo ultimus, qui est LXIIII, alias quoque mensuras, quam quae in hac serie sunt, admittit, et II et VIII et XXXII, cum bis tricena bina, octies octona, bis et tricies bina LXIIII faciant. Quem minimum numerum duo per se incompositi metiuntur, eum nullus alius per se incompositus metietur. sumantur V et VII nullum minorem numerum XXXV metiuntur; nam quinquies septena et septies quina XXXV sunt, atque nullus alius numerus per se incompositus hunc metiri potest, non II, non III, non XI, non XIII non XVII, multo vero minus ulteriores numeri. 798 Si quadratus numerus quadratum metitur, in latere quoque eius lateris mensura est. sint duo quadrati numeri IIII et XVI: metitur eos, qui XVI sunt, quaternio; quater enim quaterna XVI. atquin in latere quattuor duo sunt, in latere eorum, qui XVI sunt, IIII sunt: II metiuntur quaternionem, bis enim bina IIII sunt. ex hoc etiam illud apparet, ex duobus quadratis numeris, si in alterius latere mensura est, in ipso quoque quadrato numero alterius quadrati mensuram esse. 799 Si quadratus numerus quadratum non metitur, ne in latere quidem alterius mensura alterius est. sint quadrati numeri IIII et VIIII: quaternio novenarium numerum non metitur; ergo ne duo quidem, qui in latere quattus sunt, III, qui in latere novenarii numeri sunt, metiuntur. ex hoc etiam illud apparet, ex duobus quadratis numeris, si in alterius latere alterius lateris mensura non est, ne in alio quidem quadrato numeri alterius quadrati mensuram esse. 800 Si tessera tesseram metitur, in latere quoque alterius alterius lateris mensura est. sint duae tesserae VIII et LXIIII: eos, qui LXIIII sunt, VIII metiuntur, siquidem octies octona LXIIII sunt. atquin si in latere eius tesserae, quae VIII habet, II sint, in latere eius, quae LXIIII habet, IIII sint: II quattuor mensura sunt. ex hoc etiam illud apparet, si ex duabus tesseris in alterius latere alterius lateris mensura est, eius quoque tesserae alia tessera mensura est. Atquin si tesseram tessera non metitur, ne in latere quidem alterius lateris alterius mensura est. sint duae tesserae VIII et XXVII: eos, qui XXVII sunt, VIII non metiuntur; ergo cum in latere eius tesserae, quae VIII habet, II sint, in eius, quae XXVII habet, III sint: II ternionem non metiuntur. ex hoc etiam illud apparet, quod, si in latere tesserae non est mensura, ne ea quidem tessera eam tesseram metitur. 801 In omni numero, qui mensuram in aliquo numero habet, ex eodem et membri nomen acquirit, qui mensuram facit. sint VIIII: hos ternio metitur, et est novenarii numeri tertia pars in tribus. sint XVI: hos quaternio metitur, et est quarta eorum, qui XVI sunt, IIII: idemque in ceteris omnibus numeris reperietur. Sequitur autem ut, si numero membrum sit, in eo numero mensuram is habeat, cui cum eo membro commune nomen sit; ut novenarii numeri membrum in ternione est, eumque tres metiuntur. 802