Beitrag zur Theorie des

Ferro- und Paramagnetismus

1924

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Hauptteil

II.

Kompliziertere Fälle.

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§ 6.

Die lineare Kette bei Zulassung

von Querstellungen.

a) Die Anordnungsmöglichkeiten.

Mittels der bisher betrachteten Modelle gelangen wir unter den am Anfang gemachten Annahmen nur zu einer Erklärung des Ferro­magnetismus und es ist möglich, dass vielleicht nur eine zu grosse Idealisierung ein ferromagnetisches Verhalten nicht in Erscheinung treten liess. Es ist ja denkbar, dass ein räumliches Modell, bei dem alle irgendwie benachbarten Elemente auf einander wirken, die nötige Stabilität mit sich bringt, um zu verhindern, dass die Magnetisierungs­intensität mit H verschwindet. Doch es scheint in diesem Fall die Rechnung nicht durchführbar zu sein; jedenfalls ist es bisher nicht gelungen, die Anordnungs­möglichkeiten geeignet zu sortieren und abzuzählen. Um uns jedoch einen Ueberblick über die Verhältnisse zu verschaffen, wollen wir jetzt die folgenden drei Betrachtungen durchführen, in denen wir gewisse vereinfachende Annahmen des Früheren fallen lassen.

Wir müssen annehmen, dass die Elemente in einem ferromag­netischen Kristall nicht nur 2 verschiedene Stellungen einnehmen können, wie wir es bisher angesetzt haben. Wir wollen deshalb jetzt untersuchen, welchen Einfluss es hat, wenn wir weitere Stellungen neben der positiven und negativen zulassen. Wir betrachten wieder einen linearen Magneten, bestehend aus r Elementen. Jedes dieser Elemente soll aber jetzt ausser den beiden Längsstellungen parallel der Kette noch r weitere Stellungen senkrecht zur Ausdehnungsrichtung einnehmen können, die wir kurz Querstellungen nennen wollen. Die Anzahl r lassen wir zunächst unbestimmt, da dadurch die Rechnung nicht komplizierter wird. Wir müssen jedoch annehmen, dass r geradzahlig ist, da keine Richtung vor der entgegengesetzten ausgezeichnet sein soll. Denken wir an die sechszählige Achse des Pyrrhotin als Längsrichtung, so ist r=6; bei Magnetit dagegen haben wir r=4 zu setzen, entsprechend der vierzähligen Symmetrie der Achsen. Die r Querstellungen seien alle gleichberechtigt.

Wir müssen vor allen Dingen wissen, wie viel Stellungen möglich sind mit ν₁ positiven, ν₂ negativen und ν₃ quergestellten Elementen - ν₁+ν₂+ν₃=n - und mit σ₁₂, σ₂₃ bzw. σ₃₁ Energiestellen zwischen positiven und negativen, negativen und quergestellten bzw. quergestellten und positiven Elementen. Es ist wieder zweckmässig, zunächst unter diesen Anordnungen nur die zu zählen, deren erstes Element links positiv gerichtet ist. Durch zyklische Vertauschung der Indizes 1, 2, 3 erhält man später die Anzahl der mit einem negativen bzw. quergestellten Element beginnenden Anordnungen. Bei der Abzählung verfahren wir zunächst wie oben im Fall ohne Querstellungen. Wir denken die ν₁ positiven Elemente in einer Reihe angeordnet, zwischen ihnen verteilen wir an s₁₂ Punkten je zwei Energiestellen, wie sie zwischen positiven und negativen Elementen auftreten, und, falls δ₂=1 ist, eine weitere am rechten Ende. Dazwischen ordnet man schliesslich die negativen Elemente an. Die Anzahl dieser Anordnungen beträgt nach der Gleichung (12)

Jetzt sind noch die quergestellten Elemente in die Kette einzufügen. Das soll an s₁₃ Punkten zwischen positiven und an s₂₃ Punkten zwischen negativen Elementen geschehen und weiter an s Punkten, wo jetzt positive und negative Elemente zusammen stossen. Wir führen ein δ₃ ein, eine Grösse, die die Werte 1 oder 0 annehmen soll, je nachdem, ob wir am rechten Ende der Kette quergestellte Elemente unterbringen werden oder nicht. An jeder dieser s₁₃+s₂₃+s+δ₃ Stellen soll mindestens ein quergestelltes Element zu liegen kommen, d.h. wir haben ν₃ als Summe von s₁₃+s₂₃+s+δ₃ Zahlen >=1 darzustellen und das ist auf

Arten möglich (nach Gleichung 10). Die gesuchte Anzahl von Anordnungsmöglichkeiten hängt weiter davon ab, wie oft wir die s₁₃, s₂₃, bzw. s Punkte auswählen können. Nach der Verteilung der negativen Elemente an s₁₂+δ₂ Stellen zwischen den positiven Elementen stossen an (ν₁-1-s₁₂) Punkten positive Elemente unter sich, an (ν₂-δ₂-s₁₂) Punkten negative Elemente unter sich und an (2s₁₂+δ₂) Punkten positive und negative Elemente zusammen. Unter diesen Punkten sind jeweils die s₁₃, s₂₃ bzw. s Stellen auszuwählen, was für die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten die Faktoren

liefert.

Die gesuchte Anzahl ist damit, da wir die Einzelanordnungs­möglichkeiten beliebig mit einander kombinieren dürfen,

Was die Verteilung der Energiestellen anbetrifft, so sind an ausgewählten s₁₃, s₂₃ und s Punkten je zwei Energiestellen, wie sie zwischen quergestellten und positiven bzw. negativen Elementen auftreten, einzufügen, und eine weitere, falls δ₂δ₃ oder (1-δ₂)δ₃ gleich 1 ist. Natürlich sind an den Stellen, wo zunächst positive und negative Elemente sich gegenüber standen und jetzt quergestellte Elemente eingeführt sind, die ursprünglichen Energiestellen zu entfernen. Diese Bemerkung ist sebstverständlich für die Abzählung der Anordnungsmöglich­keiten belanglos. Danach erhalten wir für die Anzahl der Energiestellen zwi­schen positiven und negativen, negativen und quergestellten bzw. quergestellten und positiven Elementen

σ₁₂ = 2s₁₂-s+δ₂

σ₂₃ = 2s₂₃+s+δ₂δ₃

bzw.

σ₃₁ = 2s₃₁+s+(1-δ₂)δ₃

b) Die Summationen.

Die Berechnung des mittleren Moments erfolgt nun in genau der gleichen Weise wie früher. Man hat zunächst die Zustandssumme

zu bilden. A₁ und A₂ haben die alte Bedeutung.

A₁ = e^α

A₂ = e^-α

α = (|m|H / kT)

A₃ = re^-(e_a/kT)

wobei e_a die äussere Energie bezeichnet, die eine Querstellung erfordert. Die Grössen B_ik rühren von der inneren Energie her. Es ist

B_ik = e^-(e_ik/kT)

e₁₂, e₂₃ bzw. e₃₁ ist die Energie, die auftritt, wenn an einer Stelle ein positives und negatives, ein negatives und quergestelltes bzw. ein quergestelltes und positives Element zusammen stossen.

Es ist über ν₁+ν₂+ν₃=n und über σ₁₂, σ₂₃, σ₃₁ oder über s₁₂, s₂₃, s₃₁ und s von 0 bis unendlich zu summieren, denn für zu grosse Werte von s_ik und s verschwinden die Binomialkoeffizienten. Die Summationen lassen sich wieder bequem ausführen, wenn man Z₁ als Funktion von n betrachtet und

bildet. Dadurch ist die Nebenbedingung ν₁+ν₂+ν₃=n beseitigt, denn wir können jetzt über ν₁, ν₂, und ν₃ unabhängig von einander von 0 bis unendlich summieren. Diese drei Summationen lassen sich in gleicher Weise mit Hilfe von Gleichung (11) ausführen, und man erhält, wenn man vorübergehend

setzt,

Jetzt lassen sich die Summationen über s, s₁₃ und s₂₃ mit Hilfe des Binomischen Satzes erledigen. Wir finden

Wir haben bisher nur die Anordnungen berücksichtigt, deren erstes Element links positiv ist. Die Anordnungen, die links mit einem negativen Element bzw. einem quergestellten Element beginnen, erhalten wir bei dem obigen Verfahren, wenn wir zunächst die negativen bzw. quergestellten Elemente anordnen und nachträglich die übrigen einfügen. Die zugehörigen Zustandssummen Z₂ und Z₃ gehen folglich aus Z₁ durch zyklische Vertauschung der Indizes 1, 2, 3 hervor. Das Entsprechende gilt auch von den Funktionen

Um also jetzt sämtliche Anordnungen zu berücksichtigen, bilden wir

F(x) = F₁(x) + F₂(x) + F₃(x)

F(x) = Zähler/Nenner

Dabei ist, da sich der Nenner von F₁(x) bei beliebiger Vertauschung der Indizes nicht ändert der

Nenner = 1 - B₁₂²z₁z₂ - B₂₃²z₂z₃ - B₃₁²z₃z₁ - 2B₁₂B₂₃B₃₁z₁z₂z₃

und der

Zähler = z₁ + z₂ + z₃ + 2(z₁z₂B₁₂ + z₂z₃B₂₃ + z₃z₁B₃₁) + z₁z₂z₃[2(B₁₂B₂₃ +

B₂₃B₃₁ + B₃₁B₁₂) - (B₁₂² + B₂₃² + B₃₁²)]

Wir gehen jetzt wieder auf x zurück, indem wir für die Abkürzung z_i die Werte xA_i / 1-xA_i einsetzen und gleichzeitig Zähler und Nenner mit

erweitern. Dabei erhalten wir F(x) in der Form

Wir haben den Nenner, der eine Funktion 3ten Grades von x ist, sogleich in seine drei Linearfaktoren zerlegt, was für das Folgende nützlich ist. Die Grössen w_i sind aus der Gleichung

zu bestimmen.

Für die Funktion G(x) des Zählers, die im Folgenden keine grosse Rolle spielen wird, finden wir

G(x) = [A₁ + A₂ + A₃] - 2x[A₁A₂(1 - B₁₂) + A₂A₃(1 - B₂₃) + A₃A₁(1 - B₃₁)] +

x²A₁A₂A₃[3 - 2(B₁₂ + B₂₃ + B₃₁) + 2(B₁₂B₂₃ + B₂₃B₃₁ + B₃₁B₁₂) -

(B₁₂² + B₂₃² + B₃₁²)]

Die Gesamtzustandssumme

Z(n) = Z₁(n) + Z₂(n) + Z₃(n)

gewinnt man als Koeffizienten von xⁿ bei einer Entwicklung von F(x) nach Potenzen von x. Mittels Partialbruchzerlegung erhalten wir

folglich ist

von den Zählern der Partialbrüche

lässt sich durch längere Betrachtung zeigen, dass sie analog wie früher im Wesentlichen mit w_i übereinstimmen.

Wie bei Gleichung (9) gilt auch hier für das mittlere magnetische Moment J

J = m (d / dα) log Z

Diese Gleichung können wir jedoch im Allgemeinen etwas vereinfachen. Wir verstehen unter w₁ die für grosse Werte von α grösste der drei Wurzeln w_i und schreiben

wobei wir nur w₁ⁿ ausgeklammert haben; danach liefert der Faktor von w₁ⁿ bei der logarithmischen Ableitung nur einen zu vernachlässigenden Beitrag, so dass

J = m · n (d / dα) log w₁

Es genügt für unsere Zwecke, in einem speziellen Fall den Wert von w₁ und damit den Ausdruck von J näher zu betrachten. Um möglichst einfach zum Ziel zu kommen, wollen wir versuchen, ob es gelingt, bei plausiblen Annahmen über die Wechselwirkungsenergie eine der drei Grössen w_i zum Verschwinden zu bringen.

Zunächst einmal müssen wir aus Symmetriegründen annehmen, dass es dieselbe innere Energie erfordert, wenn ein positives oder ein negatives Element mit einem quergestellten zusammenkommt, d.h. B₁₃=B₂₃. Setzt man dann in

den Koeffizienten von x³ gleich 0, so findet man

Dieser Wert liegt mit B₁₂ immer zwischen 0 und 1 und ist in diesem Bereich immer grösser als B₁₂, was besagt, da

B_ik= e^{-(e_ik / kT)}

ist, dass die Wechselwirkung zwischen einem positiven und negativen Element grösser ist als die zwischen einem quergestellten und einem negativen oder positiven Element. Der angegebene Wert ist also für unsere Zwecke brauchbar. Führen wir diesen Wert jetzt in F(x) ein, so steht im Nenner

wobei wegen Gleichung (14)

A₁ · A₂ = 1,

A₁ + A₂ = 2chα

und

A₃ = re^-e_a/kT

ist.

Aus dieser Gleichung erhalten wir,

w₁ = chα + A₃/2 + W

wo

Für die Intensität der Magnetisierung finden wir

vgl. Fig. 7, Kurve III:

Fig. 7.

Das Resultat hat sich nur unwesentlich gegenüber dem Fall ohne Querstellungen geändert. Die Kurve zeigt jetzt für kleine Werte von α einen weniger steilen, aber immer noch ungefähr geradlinigen Anstieg. Nehmen wir an, dass e_a und e₁₂ sehr klein sind, so finden wir für das mittlere Moment pro Element, solange α hinreichend klein ist,

|m| = (|m|²H / kT)(2 / r+2)

Ist speziell r = 4, d.h. die Elemente haben kubische Symmetrie, so ist

|m| = |m|²H / 3kT

Wir erhalten damit den Faktor 1/3, wie er auch bei Langevin auftritt.

c) Diskussion der Maxima-Eigenschaften.

Weiter sehen wir, dass auch in dem jetzt behandelten Fall das mittlere Moment J mit dem äusseren Feld verschwindet, wie es nach dem zu Anfang des Paragraphen 4b Gesagten nicht anders zu erwarten ist. Wir wollen uns jedoch jetzt wiederum davon überzeugen, dass dieses Verschwinden nicht etwa nur vorgetäuscht wird als Folge der statistischen Mittelung über alle möglichen Lagen. Zu diesem Zweck zeigen wir, dass für den Fall H=0 aus den Gleichungen zur Bestimmung der Maximawahrscheinlichkeit die Beziehung

ν₁ = ν₂

folgt, d.h. aber nach Gleichung (2), dass bei der wahrscheinlichsten Anordnung das Moment mit dem äusseren Felde verschwindet. Wir können uns darauf beschränken, die Wahrscheinlichkeiten der Anordnungen zu vergleichen, deren erstes Element links positiv ist. Das ist eine für das Ergebnis unwesentliche Einschränkung. Sie bietet uns aber den Vorteil, dass wir die Wahrscheinlich­keiten sofort angeben können. Dieselben sind nach Gleichung (5 und 24)

w1(ν₁ν₂ν₃σ₁₂σ₂₃σ₃₁) = 1/Z₁ · N1(ν₁ν₁ν₁σ₁₂σ₂₃σ₃₁) ·

A₁^ν1A₂^ν2A₃^ν3B₁₂^σ12B₂₃^σ23B₃₁^σ31

Durch die Grössen ν₁, ν₂, ν₃, σ₁₂, σ₂₃, σ₃₁ sind die betreffenden Anordnungen, zu denen diese Wahrscheinlichkeiten gehören, charakterisiert. Die Nebenbedingung

ν₁ + ν₂ + ν₃ = n

berücksichtigen wir, indem wir

ν₃ = n - ν₁ - ν₂

Wir werden im Folgenden Grössen von der Ordnung 1 neben ν₁, ν₂, s₁₂, s₂₃, s₃₁ und s vernachlässigen, da letztere im Allgemeinen mit n vergleichbar sind. Die Maxima der Wahrscheinlichkeiten findet man, wenn man die Werte von ν₁, ν₂, s₁₂, s₂₃, s₃₁ und s aufsucht, für die die Faktoren gleich 1 werden, mit denen sich die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, wenn wir eine dieser Zahlen um 1 vergrössern. Wir erhalten dabei folgende Gleichungen:

Wir müssen wie früher die Annahme machen

B₁₃ = B₂₃

Eigentlich hätten wir dieses Gleichgewichtssystem vollständig aufzulösen. Wir beschränken uns jedoch darauf, folgendes festzustellen. Die Division von a) durch b) ergibt

Weiter findet man aus d) und e)

Aus diesen beiden Proportionen folgt bereits

s₁₃ = s₂₃

und damit

ν₁ = ν₂,

was wir ja zeigen wollten. Wir sehen damit, dass das Verschwinden des mittleren Momentes wesentlich durch unseren Ansatz bedingt ist und nicht durch die Mittelbildung über lange Beobachtungszeiten.

§ 7.

Die Doppelkette bei gleichzeitiger Wirkung

benachbarter Elemente derselben

und verschiedener Ketten.

Die Betrachtungen des vorigen Paragraphen lassen sich durch einige kleine Abänderungen auch für eine Doppelkette verwerten, deren Elemente wieder nur die beiden Stellungen parallel den Ketten einnehmen können. Dafür aber soll jetzt gleichzeitig die Wechselwirkung zwischen benachbarten Elementen sowohl derselben als auch verschiedener Ketten berücksichtigt werden. In den folgenden Betrachtungen fassen wir immer zwei benachbarte, nebeneinander liegende Elemente aus den beiden Ketten zu einem Gebilde, einem Element oder besser gesagt, Elementpaar, zusammen. Wir wollen also jetzt unter den früheren positiven und negativen Elementen Paare von positiven und negativen Elementen verstehen, während wir uns unter den früheren quergestellten Elementen sogenannte positiv-negative Elementpaare, bestehend aus einem positiven und einem negativen Element denken wollen. Wir haben dementsprechend zu setzen

A1 = e^2α

A2 = e^-2α

A3 = e^{-ei / kT}

e_i ist die innere Energie, die erforderlich ist, um von zwei nebeneinander liegenden gleichgerichteten Elementen verschiedener Ketten eines umzuklap­pen. Dadurch, dass wir in A₃ den Faktor r = 1 gesetzt haben, tun wir zunächst so, als ob die positiv-negativen Elementpaare nur einer bestimmten Stellung fähig wären, derart, dass das positive Element immer in der einen und das negative Element immer in der anderen Kette liegt. Das ist aber nicht der Fall, und wir müssen jetzt noch berücksichtigen, dass an s Stellen positiv-negative Elementpaare gegeneinander verdreht sein werden. Wir haben seinerzeit die ν₃ quergestellten Elemente auf s₁₃ + s₂₃ + s + δ₃ Stellen verteilt, infolgedessen stossen noch an (ν₃ - s₁₃ - s₂₃ - s - δ₃) Punkten quergestellte Elemente unter sich zusammen. Unter diesen Punkten können wir die s Stellen beliebig auswählen, dementsprechend ist N₁(ν₁ν₂ν₃σ₁₂σ₂₃σ₃₁) um den Faktor

zu vergrössern. An jeder dieser s Stellen tritt eine Energie e₁₂ auf wie zwischen einem positiven und einem negativen Elementpaar.

Damit haben wir noch immer nicht alle Anordnungsmöglichkeiten berücksichtigt. Wir haben die positiv-negativen Elementpaare auf (s₁₃ + s₂₃ + s + δ₃) Stellen verteilt. Es können bei allen positiv-negativen Elementpaaren, die an einer dieser Stellen untergebracht sind, gleichzeitig die positiven Elemente mit den negativen vertauscht werden. Diese Vertauschungen liefern, wie man leicht sieht, für die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten den Faktor

2 ^{s13 + s23 + s + δ3}

während sie für die Energieverhältnisse ohne Einfluss sind. Damit können wir die Zustandssumme Z₁(n), soweit sie von Anordnungen herrührt, die links mit einem positiven Element beginnen, angeben. Dieselbe ist nach Gleichung (24)

Wir bilden wieder eine Funktion

Es lassen sich dann ganz entsprechend wie früher die Summationen über ν₁, ν₂ und ν₃ ausführen. Setzt man wieder

z_i = xA_i / 1 - xA_i

i = 1 und 2

wie oben, aber jetzt

z₃ = 2xA₃ / 1 - xA₃(1 + B₁₂)

so liefert die Summation über s

Hier sieht man, dass F₁(x) und F₁(x) formal vollständig übereinstimmen, so dass wir sofort das Endresultat der Summationen angeben können. Es ist

wobei jetzt aber

G(x) = [A₁ + A₂ + 2A₃] - x[2A₁A₂(1 - B₁₂) + A₂A₃(3 + B₁₂ - 4B₂₃) +

A₃A₁(3 + B₁₂ - 4B₃₁)] + 2x²A₁A₂A₃[2 - B₁₂² - 2B₂₃ - 2B₃₁ +

2(B₁₂B₂₃ + B₂₃B₃₁ + B₃₁B₁₂) - (B₁₂² + B₂₃² + B₃₁²)]

und

In genau derselben Weise wie oben finden wir schliesslich

J = m · n (d / dα) log w₁

wo w₁ wieder die grösste der drei Wurzeln w_i bezeichnet.

Wir nehmen jetzt an

B₁₃ = B₂₃ = B

und

B₁₂ = B²

d.h. es erfordert die gleiche Energie, ob ein positives Elementpaar oder ein negatives mit einem positiv-negativen Elementpaar zusammentrifft. Wir haben in diesem Fall jeweils eine Energiestelle im ursprünglichen Sinn, wie Fig. 9a und 9b zeigt; dagegen erfordert es doppelt soviel Energie, wenn irgendwo ein positives und ein negatives Elementpaar zusammenstossen, wobei zwei Energiestellen auftreten (Fig. 9c).

Fig. 9.

Wir erinnern uns noch daran, dass wir als Nullniveau für die innere Energie den Fall gewählt haben, wo alle Elemente gleichgerichtet sind, also keine Energiestellen auftreten. Unter unseren Annahmen erhalten wir für w₁ die vereinfachte Gleichung

Es ist der jetzigen Bedeutung von A₁ und A₂ entsprechend

A₁ · A₂ = 1;

A₁ + A₂ = 2ch2α

Setzen wir die Wechselwirkungsenergie e_i zwischen benachbarten Elementen verschiedener Ketten gleich 0, d.h. A₃ = 1, so erhalten wir, wie es sein muss, ein uns bekanntes Ergebnis, und zwar

und

(vgl. Gleichung 20, wo n₁ = 2 zu setzen ist).

In dem anderen Grenzfall sehr starker Wechselwirkung (A₃<<1) finden wir, wenn wir noch annehmen, dass auch (1 - B²) klein ist, d.h. die Wechsel­wirkungsenergie e_i zwischen benachbarten Elementen derselben Kette ist nicht sehr gross (B = e^-ei/kT)

Wir haben in der Gleichung für w₁ das Glied mit x³ vernachlässigt. Wenn wir

setzen, so ergibt sich

Um recht deutlich zu sehen, wie sich die Wechselwirkung zwischen benachbarten Elementen verschiedener Ketten bemerkbar macht, lassen wir dieselbe recht gross werden, dann dürfen wir A₃ = 0 setzen, wobei

Wir sehen, dass sich gegenüber dem Fall ohne Wechselwirkung (Gleichung 19) der Parameter α, d.h. das äussere Feld und die innere Energie e_i um den Faktor 2 vergrössert haben.

In diesem Grenzfall lässt sich die Behandlung auch auf ein räumliches Modell ausdehnen. Haben wir nämlich n₁ parallele Ketten, so haben wegen unserer Annahmen jeweils die n₁ in einer Querschicht nebeneinander liegenden Elemente alle dieselbe Richtung, sodass wir jede solche Schicht jetzt als Element betrachten können, das zum Gesamtmoment den Beitrag plus oder minus n₁m liefert. Damit ist der Fall auf die einfache lineare Kette zurückgeführt. Man findet danach

d.h. gegenüber Gleichung (20) eine Vergrösserung des äusseren Magnetfeldes und eine Vergrösserung der Wechselwirkungsenergie e_i zwischen Elementen derselben Kette um den Faktor n₁. Dieses Modell wäre praktisch stets spontan gesättigt magnetisiert. Doch wechselt die Richtung der Magnetisierung mit der des äusseren Feldes.

Nur für ein H=0 verschwindet das mittlere Moment und es lässt sich genau wie im vorigen Paragraphen zeigen, dass das Moment der wahrscheinlichsten Anordnung mit H=0 verschwindet.

§ 8.

Die lineare Kette bei Wechselwirkung

zwischen erst- und zweitbenachbarten Elementen.

Drittens untersuchen wir, wie sich unsere bisherigen Ergebnisse ändern, wenn wir annehmen, dass auch die Stellungen von zweitbenachbarten Elemen­ten zu einander auf die Energieverhältnisse von Einfluss sind. Wir setzen wieder fest, dass in den Fällen, wo alle Elemente gleichgerichtet sind, die innere Energie verschwindet. Es erfordere die Energie e_i, um von zwei nächstbenachbarten Elementen, die die gleiche Richtung haben, eines umzuklappen. Kommt es also σ mal vor, dass nächstbenachbarte Elemente entgegengesetzt gerichtet sind, und τ mal, dass zweitbenachbarte Elemente entgegengesetzt gerichtet sind, so steckt in einer solchen Anordnung die innere Energie

σe_i + τe_i'

Wir fragen nun, wieviel Anordnungen von ν₁ positiven und ν₂ negativen Elementen diese innere Energie besitzen. Wir beschränken uns zunächst wieder auf die Anordnungen, deren erstes Element links positiv ist. Um die Anordnungsmöglichkeiten bequem ablesen zu können, lassen wir eine gewünschte Anordnung in der folgenden Weise allmählich entstehen. Wir bilden uns zunächst eine Kette, die mit einem positiven Element links beginnend abwechselnd aus einem positiven und einem negativen Element besteht. In dieser Kette sollen bereits alle σ=2s+δ Energiewerte e_i auftreten. Diese Kette enthält dann (s+1) positive und (s+δ) negative Elemente. Die Kette ende rechts mit einem positiven oder negativen Element, je nachdem, ob δ=0 oder δ=1 ist. Bringt man im Innern dieser Kette an einer Stelle weitere Elemente, positive oder negative, [unter,] so kommt es jetzt wie Fig. 10 zeigt, zweimal vor, dass zweit­benachbarte Elemente entgegengesetzt gerichtet sind.

Fig. 10.

Bringen wir also die noch nicht verteilten (ν₁-s-1) positiven und (ν₂-s-δ) negativen Elemente an r₁ bzw. r₂ Stellen im Innern der Kette unter, so tritt dabei 2(r₁+r₂) mal die Energie e_i' auf. Die r₁ und r₂ Punkte, wo wir die Elemente einfügen, lassen sich, wie man leicht sieht, auf

Weisen auswählen. Wir führen noch die Grössen ε₁, ε₁' und ε₂ ein, die die Werte 1 oder 0 annehmen, je nachdem wir am linken bzw. rechten Ende der Kette positive bzw. negative Elemente unterbringen oder nicht. Danach haben wir die (ν₁-s-1) positiven auf (r₁+ε₁+ε₁'(1-δ)) und die (ν₂-s-δ) negativen Elemente auf (r₂+ε₂δ) Stellen zu verteilen. Das geht nach Gleichung (10) auf

Arten.

Ist eine der Grössen ε₁, ε₁'(1-δ) und ε₂δ gleich 1, so kommt es ein weiteres Mal vor, dass zwei zweitbenachbarte Elemente entgegengesetzt gerichtet sind, so dass

τ = 2(r₁ + r₂) + ε₁ + ε₁'(1-δ) + ε₂δ

Die Ermittlung der Zustandssumme

(es ist über s, r₁ und r₂ von 0 bis unendlich, über ν₁+ν₂=n und über δ, ε₁, ε₁', ε₂ von 0 bis 1 zu summieren) erfolgt in ganz analoger Weise wie in den früher betrachteten Fällen. Wir wollen sie daher nur kurz andeuten. Es ist wie früher zur Abkürzung gesetzt

und ausserdem jetzt

E = e^{-ei' / kT}

Man betrachtet wieder

Setzt man vorübergehend

z_i = xA_i / 1 - xA_i

so liefert die Summation über ν₁ und ν₂

Jetzt lassen sich die Summationen über r₁ und r₂ ausführen. Man erhält

Nun ist die Summation über s auszuführen und dann sind für δ, ε₁, ε₁' und ε₂ die Werte 0 und 1 einzusetzen. Durch Vertauschen der Indizes 1 und 2 erhält man den Ausdruck F₂(x), der den Anordnungen entspricht, die links mit einem negativen Element beginnen. Man erhält schliesslich

Für das mittlere Moment kommt nur die grösste unter den Wurzeln w_i in Betracht, die wir mit w₁ bezeichnen und die aus der Gleichung

zu bestimmen ist. Man findet

w_i = chα + W

wo

und weiter

J = m · n (d / dα) log w₁

Da im Allgemeinen die Energie e_i', die erforderlich ist, um von 2 zweitbenachbarten Elementen das eine umzuklappen, klein sein wird, so ist E = e^{-ei / kT} ungefähr gleich 1, sodass wir die Glieder mit (E² - 1)² vernachlässigen dürfen. Dann sieht man aber, dass sich die Wechselwirkung zwischen zweitbenachbarten Elementen bemerkbar macht, wie eine Vergrösserung der Wechselwirkung zwischen nächstbenachbarten Elementen, denn an die Stelle von B2 = e^{-2ei / kT} in Gleichung (19) ist jetzt B²E² < B²getreten. Das entspricht einer Vergrösserung von e_i.

Wir stellen auch hier wieder wie im Paragraphen 6c) für den Fall H = 0 die Gleichungen zur Bestimmung der Maximalwahrscheinlichkeit auf. Dieselben lauten:

Die Gleichung a) können wir auch in der Form

schreiben. Die Division von c) und d) ergibt

oder r₁ = r₂ und weiter

ν₁ = ν₂

d. h. aber wiederum das Moment der wahrscheinlichsten Anordnung verschwin­det mit dem äusseren Feld.