r e g u l a  XIV

Eadem est ad extensionem realem corporum transferenda, et tota per nudas figuras imaginationi proponenda: ita enim longe distinctius ab intellectu percipietur.

_______________

1.

Ut autem etiam imaginationis utamur adjumento, notandum est, quoties unum quid ignotum ex aliquo alio jam ante cognito deducitur, non idcirco novum aliquod genus entis inveniri, sed tantum extendi totam hanc cognitionem ad hoc, ut percipiamus rem quaesitam participare hoc vel illo modo naturam eorum quae in propositione data sunt. Exempli causa, si quis a nativitate caecus sit, non sperandum est ullis unquam argumentis nos effecturos, ut veras percipiat colorum ideas, quales nos habemus a sensibus haustas; sed si quis primarios colores viderit quidem aliquando, intermedios autem et mixtos nunquam, fieri potest ut illorum etiam, quos non vidit, imagines ex aliorum similitudine per [439] deductionem quandam effingat. Eodem modo, si in magnete aliquod sit genus entis, cui nullum simile intellectus noster hactenus perceperit, non sperandum est nos illud unquam ratiocinando cognituros, sed vel novo aliquo sensu instructos esse oporteret, vel mente divina; quidquid autem hac in re ab humano ingenio praestari potest, nos adeptos esse credemus, si illam jam notorum entium sive naturarum mixturam, quae eosdem, qui in magnete apparent, effectus producat, distinctissime percipiamus.

2.

Et quidem omnia haec entia jam nota, qualia sunt extensio, figura, motus, et similia, quae enumerare non est hujus loci, per eandem ideam in diversis subjectis cognoscuntur, neque aliter imaginamur figuram coronae, si sit argentea, quam si sit aurea; atque haec idea communis non aliter transfertur ex uno subjecto ad aliud, quam per simplicem comparationem, per quam affirmamus quaesitum esse secundum hoc aut illud simile, vel idem, vel aequale cuidam dato, adeo ut in omni ratiocinatione per comparationem tantum veritatem praecise agnoscamus. Verbi gratia, hic: omne A est B, omne B est C, ergo omne A est C; comparantur inter se quaesitum et datum, nempe A et C, secundum hoc quod utrumque sit B, etc. Sed quia, ut jam saepe monuimus, syllogismorum formae nihil juvant ad [440] rerum veritatem percipiendam, proderit lectori si, illis plane rejectis, concipiat omnem omnino cognitionem, quae non habetur per simplicem et purum unius rei solutariae intuitum, haberi per comparationem duorum aut plurium inter se. Et quidem tota fere rationis humanae industria in hac operatione praeparanda consistit; quando enim aperta est et simplex, nullo artis adjumento, sed solius naturae lumine est opus ad veritatem, quae per illam habetur, intuendam.

3.

Notandumque est, comparationes dici tantum simplices et apertas, quoties quaesitum et datum aequaliter participant quandam naturam; caeteras autem omnes non aliam ob causam praeparatione indigere, quam quia natura illa communis non aequaliter est in utraque, sed secundum alias quasdam habitudines sive proportiones, in quibus involvitur; et praecipuam partem humanae industriae non in alio collocari, quam in proportionibus istis eo reducendis, ut aequalitas inter quaesitum, et aliquid quod sit cognitum, clare videatur.

4.

Notandum est deinde, nihil ad istam aequalitatem reduci posse, nisi quod recipit majus et minus, atque illud omne per magnitudinis vocabulum comprehendi, adeo ut, postquam juxta regulam praecedentem difficultatis termini ab omni subjecto abstracti sunt, hic tantum deinceps circa magnitudines in genere intelligamus nos versari.

5.

Ut vero aliquid etiam tunc imaginemur, nec intellectu puro utamur, sed speciebus in phantasia depictis [441] adjuto, notandum est denique, nihil dici de magnitudinibus in genere, quod non etiam ad quamlibet in specie possit referri.

6.

Ex quibus facile concluditur, non parum profuturum, si transferamus illa, quae de magnitudinibus in genere dici intelligemus, ad illam magnitudinis speciem, quae omnium facillime et distinctissime in imaginatione nostra pingetur. Hanc vero esse extensionem realem corporis abstractum ab omni alio, quam quod sit figurata, sequitur ex dictis ad regulam duodecimam, ubi phantasiam ipsam cum ideis in illa existentibus nihil aliud esse concepimus, quam verum corpus reale extensum et figuratum. Quod per se etiam est evidens, cum in nullo alio subjecto distinctius omnes proportionum difierentiae exhibeantur; quamvis enim una res dici possit magis vel minus alba quam altera, item unus sonus magis vel minus acutus, et sic de caeteris, non tamen exacte definire possumus, utrum talis excessus consistat in proportione dupla vel tripla, etc. nisi per analogiam quandam ad extensionem corporis figurati. Maneat ergo ratum et fixum, quaestiones perfecte determinatas vix ullam difficultatem continere praeter illam, quae consistit in proportionibus in aequalitatibus evolvendis; atque illud omne, in quo praecise talis difficultas invenitur, facile posse et debere ab omni alio subjecto separari, ac deinde transferri ad extensionem et figuras, de quibus solis idcirco deinceps usque ad regulam vigesimam quintam, omissa omni alia cogitatione, tractabimus.

7.

[442] Optaremus hoc in loco lectorem nancisci Arithmeticae et Geometriae studiis propensum, etiamsi in iisdem nondum versatum esse malim, quam vulgari more eruditum: usus enim regularum, quas hic tradam, in illis addiscendis, ad quod omnino sufficit, longe facilior est, quam in ullo alio genere quaestionum; hujusque utilitas est tanta ad altiorem sapientiam consequendam, ut non verear dicere, hanc partem nostrae methodi non propter mathematica problemata fuisse inventam, sed potius haec fere tantum hujus excolendae gratia esse addiscenda. Nihilque supponam ex istis disciplinis, nisi forte quaedam per se nota et unicuique obvia; sed earundem cognitio, sicut ab aliis solet haberi, etiamsi nullis apertis erroribus sit corrupta, plurimis tamen obliquis et male conceptis principiis obscuratur, quae passim in sequentibus emendare conabimur.

8.

Per extensionem intelligimus illud omne quod habet longitudinem, latitudinem, et profunditatem, non inquirentes, sive sit verum corpus, sive spatium tantum; nec majori explicatione indigere videtur, cum nihil omnino facilius ab imaginatione nostra percipiatur. Quia tamen saepe litterati tam acutis utuntur distinctionibus, ut lumen naturale dissipent, et tenebras inveniant etiam in illis quae a rusticis nunquam ignorantur, monendi sunt, hic per extensionem non distinctum quid et ab ispo subjecto separatum designari, neque in universum nos agnoscere ejusmodi entia philosophica, quae revera sub imaginationem non cadunt. Nam etiamsi aliquis sibi persuadere possit, ex. causa, si ad nihilum reducatur quidquid est extensum in rerum natura, [443] non repugnare interim, ipsam extensionem per se solam existere, non utetur tunc idea corporea ad hunc conceptum, sed solo intellectu male judicante. Quod ipse fatebitur, si attente reflectat ad illam ipsam extensionis imaginem, quam tunc in phantasia sua fingere conabitur: advertet enim, se eandem non percipere omni subjecto destitutam, sed omnino aliter imaginari quam judicet; adeo ut illa entia abstracta (quidquid credat intellectus de rei veritate) nunquam tamen in phantasia a subjectis separata formentur.

9.

Quia vero deinceps nihil sine imaginationis auxilio sumus acturi, operae pretium est caute distinguere, per quas ideas singulae verborum significationes intellectui nostro sint proponendae. Quamobrem has tres loquendi formas considerandas proponimus: extensio occupat locum, corpus habet extensionem, et extensio non est corpus.

10.

Quarum prima ostendit, quomodo extensio sumatur pro eo quod est extensum; idem enim plane concipio, si dicam: extensio occupat locum, quam si dicam: extensum occupat locum. Neque tamen idcirco ad fugiendam ambiguitatem voce extensum uti melius est: non enim tam distincte significaret id quod concipimus, nempe subjectum aliquod occupare locum, quia extensum est; possetque aliquis interpretari tantum: extensum esse subjectum occupans locum, non aliter quam si dicerem: animatum occupat locum. Quae ratio explicat, quare hic de extensione nos acturos esse dixerimus potius quam de extenso, etiamsi eandem non aliter concipiendam esse putemus quam extensum.

11.

[444] Jam pergamus ad haec verba: corpus habet extensionem, ubi extensionem aliud quidem significare intelligimus quam corpus, non tamen duas distinctas ideas in phantasia nostra formamus, unam coporis, aliam extensionis, sed unicam tantum corporis extensi; nec aliud est a parte rei, quam si dicerem: corpus est extensum; vel potius: extensum est extensum. Quod peculiare est istis entibus, quae in alio tantum sunt, nec unquam sine subjecto concipi possint, aliterque contingit in illis, quae a subjectis realiter distinguuntur: nam si dicerem, verbi gratia: Petrus habet divitias, plane diversa est idea Petri ab illa divitiarum; item si dicerem: Paulus est dives, omnino aliud imaginarer, quam si dicerem: dives est dives. Quam diversitatem plerique non distinguentes falso opinantur, extensionem continere aliquid distinctum ab eo quod est extensum, sicut divitiae Pauli aliud sunt quam Paulus.

12.

Denique si dicatur: extensio non est corpus, tunc extensionis vocabulum longe aliter sumitur quam supra, atque in hac significatione nulla illi peculiaris idea in phantasia correspondet, sed tota haec enuntiatio ab intellectu puro perficitur, qui solus habet facultatem ejusmodi entia abstracta separandi. Quod plerisque erroris occasio est, qui non advertentes extensionem ita sumptam non posse ab imaginatione comprehendi, illam sibi per veram ideam repraesentant; qualis idea cum necessario involvat corporis conceptum, si dicant extensionem ita conceptam non esse corpus, imprudenter implicantur in eo, quod idem[445] simul sit corpus et non corpus. Et magni est momenti distinguere enuntiationes, in quibus ejusmodi nomina: extensio, figura, numerus, superficies, linea, punctum, unitas, etc., tam strictam habent significationem, ut aliquid excludant, a quo revera non sunt distincta, ut cum dicitur: extensio, vel figura non est corpus; numerus non est res numerata; superficies est terminus corporis, linea superficiei, punctum lineae; unitas non est quantitas, etc. Quae omnes et similes propositiones ab imaginatione omnino removendae sunt, ut sint verae; quamobrem de illis in sequentibus non sumus acturi.

13.

Notandumque est diligenter, in omnibus aliis propositionibus, in quibus haec nomina, quamvis significationem eandem retineant, dicanturque eodem modo a subjectis abstracta, nihil tamen excludunt vel negant, a quo non realiter distinguantur, imaginationis adjumento nos uti posse et debere: quia tunc, etiamsi intellectus praecise tantum attendat ad illud quod verbo designatur, imaginatio tamen veram rei ideam fingere debet, ut ad ejus alias conditiones vocabulo non expressas, si quando usus exigat, idem intellectus possit converti, nec illas unquam imprudenter judicet fuisse exclusas. Ut si de numero sit quaestio, imaginemur subjectum aliquod per multas unitates mensurabile, ad cujus solam multitudinem licet intellectus in praesenti reflectat, cavebimus tamen ne inde postea aliquid concludat, in quo res numerata a nostro conceptu exclusa fuisse supponatur: sicuti faciunt illi, qui numeris mira [446] tribuunt mysteria et meras nugas, quibus certe non tantam adhiberent fidem, nisi numerum a rebus numeratis distinctum esse conciperent. Item, si agamus de figura, putemus nos agere de subjecto extenso, sub hac tantum ratione concepto, quod sit figuratum; si de corpore, putemus nos agere de eodem, ut longum, latum et profundum; si de superficie, concipiamus idem, ut longum et latum, omissa profunditate, non negata; si de linea, ut longum tantum; si de puncto, idem omisso omni alio, praeterquam quod sit ens.

14.

Quae omnia quamvis fuse hic deducam, ita tamen praeoccupata sunt mortalium ingenia, ut verear adhuc, ne valde pauci hac in parte ab omni errandi periculo sint satis tuti, explicationemque mei sensus nimis brevem in longo sermone reperiant; ipsae enim artes Arithmetica et Geometria, quamvis omnium certissimae, nos tamen hic fallunt: quis enim Logista numeros suos ab omni subjecto, non modo per intellectum abstractos, sed per imaginationem etiam vere distinguendos esse non putat? quis Geometra repugnantibus principiis objecti sui evidentiam non confundit, dum lineas carere latitudine judicat, et superficies profunditate, quas tamen easdem postea unas ex aliis componit, non advertens lineam, ex cujus fluxu superficiem fieri concipit, esse verum corpus; illam autem, quae latitudine caret, non esse nisi corporis modum, etc.? Sed ne in his recensendis diutius immoremur, brevius erit exponere, quo pacto nostrum objectum concipien[447]dum esse supponamus, ut de illo, quid in Arithmeticis et Geometricis inest veritatis, quam facillime demonstremus.

15.

Hic ergo versamur circa objectum extensum, nihil plane aliud in eo considerantes praeter ipsam extensionem, abstinentesque de industria a vocabulo quantitatis, quia tam subtiles sunt quidam Philosophi, ut illam quoque ab extensione distinxerint; sed quaestiones omnes eo deductas esse supponimus, ut nihil aliud quaeratur, quam quaedam extensio cognoscenda ex eo, quod comparetur cum quadam alia extensione cognita. Cum enim hic nullius novi entis cognitionem expectemus, sed velimus duntaxat proportiones quantumcumque involutas eo reducere, ut illud, quod est ignotum, aequale cuidam cognito reperiatur, certum est omnes proportionum differentias, quaecumque in aliis subjectis existunt, etiam inter duas vel plures extensiones posse inveniri; ac proinde sufficit ad nostrum institutum, si in ipsa extensione illa omnia consideramus, quae ad proportionum differentias exponendas possunt juvare, qualia occurrunt tantum tria, nempe dimensio, unitas, et figura.

16.

Per dimensionem nihil aliud intelligimus, quam modum et rationem, secundum quam aliquod subjectum consideratur esse mensurabile: adeo ut non solum longitudo, latitudo, et profunditas sint dimensiones corporis, sed etiam gravitas sit dimensio, secundum quam subjecta ponderantur, celeritas sit dimensio motus, et alia ejusmodi infinita. Nam divisio ipsa in [448]plures partes aequales, sive sit realis, sive intellectualis tantum, est proprie dimensio secundum quam res numeramus; et modus ille, qui numerum facit, proprie dicitur esse species dimensionis, quamvis sit aliqua diversitas in significatione nominis: si enim consideramus partes in ordine ad totum, tunc numerare dicimur; si contra totum spectamus ut in partes distributum, illud metimur; e. g., saecula metimur annis, diebus, horis, et momentis; si autem numeremus momenta, horas, dies et annos, saecula tandem implebimus.

17.

Ex quibus patet, infinitas esse posse in eodem subjecto dimensiones diversae, illasque nihil prorsus superaddere rebus dimensis, sed eodem modo intelligi, sive habeant fundamentum reale in ipsis subjectis, sive ex arbitrio mentis nostrae fuerint excogitatae. Est enim aliquid reale gravitas corporis, vel celeritas motus, vel divisio saeculi in annos et dies; non autem diei divisio in horas et momenta, etc. Quae tamen omnia eodem modo se habent, si considerentur tantum sub ratione dimensionis, ut hic et in Mathematicis disciplinis est faciendum: pertinet enim magis ad Physicos examinare, utrum illarum fundamentum sit reale.

18.

Cujus rei animadversio magnam Geometriae adfert lucem, quoniam in illa fere omnes male concipiunt tres species quantitatis: lineam, superficiem, et corpus. Jam enim ante notatum est, lineam et superficiem non cadere sub conceptum ut vere distinctas a corpore, [449] vel ab invicem; si vero considerentur simpliciter, ut per intellectum abstractae, tunc non magis dizversae sunt species quantitatis, quam animal et vivens in homine sunt diversae species substantiae. Obiterque notandum est, tres corporum dimensiones, longitudinem, latitudinem, et profunditatem, nomine tenus ab invicem discrepare: nihil enim vetat, in solido aliquo dato utramlibet extensionem pro longitudine eligere, aliam pro latitudine, etc. Atque quamvis hae tres duntaxat in omni re extensa, ut extensa simpliciter, reale habeant fundamentum, non tamen hic illas magis spectamus, quam alias infinitas, quae vel finguntur ab intellectu, vel alia in rebus habent fundamenta: ut in triangulo, si illud perfecte velimus dimetiri, tria a parte rei noscenda sunt, nempe vel tria latera, vel duo latera et unus angulus, vel duo anguli et area, etc.; item in trapezio quinque, sex in tetraedro, etc., quae omnia dici possunt dimensiones. Ut autem hic illas eligamus, quibus maxime imaginatio nostra adjuvatur, nunquam ad plures quam unam vel duas in phantasia nostra depictas simul attendemus, etiamsi intelligamus in propositione, circa quam versabimur, quotlibet alias existere; artis enim est ita illas in quam plurimas distinguere, ut nonnisi ad paucissimas simul, sed tamen successive ad omnes advertamus.

19.

Unitas est natura illa communis, quam supra diximus debere aequaliter participari ab illis omnibus, quae inter se comparantur. Et nisi aliqua jam sit determi[450]nata, in quaestione possumus pro illa assumere, sive unam ex magnitudinibus jam datis, sive aliam quamcumque, et erit communis aliarum omnium mensura; atque in illa intelligimus tot esse dimensiones, quot in ipsis extremis, quae inter se erunt comparanda, eandemque concipiemus, vel simpliciter ut extensum quid, abstrahendo ab omni alio, tuncque idem erit cum puncto Geometrarum, dum ex ejus fluxu lineam componunt, vel ut lineam quandam, vel ut quadratum.

20.

Quod attinet ad figuras, jam supra ostensum est, quomodo per illas solas rerum omnium ideae fingi possint; superestque hoc in loco admonendum, ex innumeris illarum speciebus diversis, nos illis tantum hic usuros, quibus facillime omnes habitudinum sive proportionum differentiae exprimuntur. Sunt autem duo duntaxat genera rerum, quae inter se conferuntur, multitudines et magnitudines; habemusque etiam duo genera figurarum ad illas conceptui nostro exponendas: nam, ver. gr., puncta



quibus numerus triangularis designatur, vel arbor, quae alicujus prosapiam explicat



[451] etc., sunt figurae ad multitudinem exhibendam; illae autem, quae continuae sunt et indivisae, ut
tum, etc., magnitudines explicant.

21.

Jam vero ut exponamus, quibusnam ex illis omnibus hic simus usuri, sciendum est, omnes habitudines, quae inter entia ejusdem generis esse possunt, ad duo capita esse referendas, nempe ad ordinem, vel ad mensuram. Sciendum praeterea, in ordine quidem excogitando non parum esse industriae, ut passim videre est in hac methodo, quae fere nihil aliud docet; in ordine autem cognoscendo, postquam inventus est, nullam prorsus difficultatem contineri, sed facile nos posse juxta regulam septimam singulas partes ordinatas mente percurrere, quia scilicet in hoc habitudinum genere una ad alia referuntur ex se solis, non autem mediante tertio, ut fit in mensuris, de quibus ideirco evolvendis tantum hic tractamus: agnosco enim, quis sit ordo inter A et B, nullo alio considerato praeter utrumque extremum; non autem agnosco quae sit proportio magnitudinis inter duo et tria, nisi eonsiderato quodam tertio, nempe unitate, quae utriusque est communis mensura.

22.

Sciendum etiam, magnitudines continuas beneficio [452] unitatis assumptitiae posse totas interdum ad multitudinem reduci, et semper saltem ex parte, atque multitudinem unitatum posse postea tali ordine disponi, ut difficultas, quae ad mensurae cognitionem pertineat, tandem a solius ordinis inspectione dependeat, maximumque in hoc progressu esse artis adjumentum.

23.

Sciendum est denique, ex dimensionibus magnitudinis continuae nullas plane distinctius concipi, quam longitudinem et latitudinem, neque ad plures simul in eadem figura esse attendendum, ut duo diversa inter se comparemus, quoniam artis est, si plura quam duo diversa inter se comparanda habeamus, illa successive percurrere, et ad duo duntaxat simul attendere.

24.

Quibus animadversis facile colligitur, hic non minus esse abstrahendas propositiones ab ipsis figuris, de quibus Geometrae tractant, si de illis sit quaestio, quam ab alia quavis materia, nullasque ad hunc usum esse retinendas praeter superficies rectilinea. [453]