Πρόβλημα βοεικόν

Textus:

Archimède tome III, p. 167-173

ed. Ch. Mugler, Paris 1971

____________________________________________________________________

Πρόβλημα, ὅπερ Αρχιμήδης ἐν ἐπιγράμμασιν εὑρων τοῖς ἐν Ἀλεξανδρειαι περὶ ταῦτα πραγματευομένοις ζητεῖν ἀπέστειλεν ἐν τῆι πρὸς Ἐρατοσθένην τὸν Κυρηναῖον ἐπιστολῆι.

Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον 

φροντίδ' ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης, 

πόσση ἄρ' ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ' ἐβόσκετο νήσου 

Θρινακίης τετραχῆι στίφεα δασσαμένη 

5

χροιὴν ἀλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος, 

κυανέωι δ' ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,

ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον. Ἐν δὲ ἑκάστωι 

στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι 

συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες· ἀργότριχας μὲν 

10

κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτωι 

καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον, 

αὐτὰρ κυανέους τῶι τετράτωι τε μέρει 

μικτοχρόων καὶ πέμπτωι, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν. 

Τους δ' ὑπολεπτομένους ποικιλόχρωτας ἄθρει 

15

ἀργεννῶν ταύρων ἕκτωι μέρει ἑβδομάτωι τε 

καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.

Θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ' ἔπλετο· λευκότριχες μὲν

ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέλης

τῶι τριτάτωι τε μέρει καὶ τετράτωι ἀτρεκὲς ἶσαι·

20

αὐτὰρ κυάνεαι τῶι τετράτωι τε πάλιν 

μικτοχρόων καὶ πέμπτωι ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο 

σὺν ταύροις πάσαις εἰς νομὸν ἐρχομέναις. 

Ξανθοτρίχων δ' ἀγέλης πέμπτωι μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτωι 

ποικίλαι ἰσάριθμον πλήθος ἔχον τετραχῆι. 

25

Ξανθαὶ δ' ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι 

ἀργεννῆς ἀγέλης ἐβδομάτωι τε μέρει. 

Ξεῖνε, σὺ δ' Ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών, 

χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν, 

χωρὶς δ' αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χροιὰν ἕκασται, 

30

οὐκ ἄιδρίς κα λέγοι' οὐδ' ἀριθμῶν ἀδαής, 

οὐ μὴν πώ γε σοψοῖς ἐναρίθμιος. Ἀλλ' ἴθι φράζευ 

καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη. 

Ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν 

κυανέοις, ἵσταντ' ἔμπεδον ἰσόμετροι 

35

εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ δ' αὖ περιμήκεα πάντη 

πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία. 

Ξανθοὶ δ' αὖτ' εἰς ἐν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες 

ἵσταντ' ἀμβολάδην ἐξ ἑνός ἀρχόμενοι 

σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων 

40

ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ' ἐπιλειπομένων. 

Ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας 

καὶ πληθέων ἀποδούς, ξεῖνε, τὰ πάντα μέτρα 

ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος ἴσθι τε πάντως 

κεκριμένος ταύτηι γ' ὄμπνιος ἐν σοφίηι.

Σχόλιον

Τὸ μὲν οὖν πρόβλημα διὰ τοῦ ποιήματος ὁ Ἀρχιμήδης ἐδήλωσε σαφῶς· ἰστέον δὲ λεγόμενον, ὅτι τέσσαρας ἀγέλας εἶναι δεῖ βοῶν, λευκοτρίχων μὲν μίαν ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθος ὁμοῦ συνάγει μυριάδας διπλᾶς ιδ' καὶ ἁπλᾶς φπβ' καὶ μονάδας ,ζτξ', κυανοχρόων δ' ἄλλην ὁμοῦ ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν ἐννέα καὶ ἁπλῶν ,ηωλ' καὶ μονάδων ω', μιξοτρίχων δ' ἄλλην ταύρων καὶ θηλειῶν, ὧν τὸ πλῆθός ἐστι μυριάδων διπλῶν η' καὶ ἁπλῶν ,ςϠϞα' καὶ μονάδων υ'· τῆς δὲ λοιπῆς ἀγέλης ξανθοχρόων συνάγει τὸ πλῆθος διπλᾶς μυριάδας ζ' καὶ ἁπλᾶς ,ςψη', μονάδας δὲ ,η'· ὥστε συνάγεσθαι ὁμοῦ τὸ πλῆθος τῶν δ' ἀγελῶν μυριάδας διπλᾶς μ' καὶ ἁπλᾶς ,γριβ' καὶ μονάδας ,ςφξ'. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἔχει μυριάδας διπλᾶς η' καὶ ἁπλᾶς ,βϠλα' καὶ μονάδας ,ηφξ', θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς ε' καὶ ἁπλᾶς ,ζχν' καὶ μονάδας ,ηω', ἡ δὲ ἀγέλη τῶν κυανοχρόων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε' καὶ ἁπλᾶς ,θχπδ' καὶ μονάδας ,αρκ', θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς γ' καὶ ἁπλᾶς ,θρμε' καὶ μονάδας ,θχπ', ἡ δ' ἀγέλη τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς ε' καὶ ἁπλᾶς ,ηωξδ' καὶ μονάδας ,δω', θηλειῶν δε μυριάδας διπλᾶς β' καὶ ἁπλᾶς ,ηρκς' καὶ μονάδας ,εχ', ἡ δ' ἀγέλη τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων ἔχει μὲν μυριάδας διπλᾶς γ' καὶ ἁπλᾶς ,γρϞε' καὶ μονάδας ,ϞϠξ', θηλειῶν δὲ μυριάδας διπλᾶς δ' καὶ ἁπλᾶς ,γφιγ' καὶ μονάδας ,ζμ'. Καί ἐστι τὸ πλῆθος τῶν λευκοτρίχων ταύρων ἴσον τῶι ἡμίσει καὶ τρίτωι μέρει τοῦ πλήθους τῶν κυανοχρόων ταύρων καὶ ἔτι ὅληι τῆι τῶν ξανθοχρωμάτων ἀγέληι, τὸ δὲ πλῆθος τῶν κυανοχρωμάτων ἴσον τῶι τετάρτωι καὶ πέμπτωι μέρει τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων καὶ ὅλωι τῶι πλήθει τῶν ξανθοχρωμάτων, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ποικιλοτρίχων ταύρων ἴσον τῶι ἕκτωι καὶ ἑβδόμωι μέρει τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἔτι τῶι πλήθει ὅλωι τῶν ξανθοχρωμάτων ταύρων, καὶ πάλιν τὸ πλῆθος τῶν λευκῶν θηλειῶν ἴσον τῶι τρίτωι καὶ τετάρτωι μέρει ὅλης τῆς ἀγέλης τῶν κυανοχρόων, τὸ δὲ τῶν κυανοχρόων ἴσον τῶι τετάρτωι καὶ πέμπτωι μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν ποικιλοτρίχων, τὸ δὲ τῶν ποικιλοτρίχων ἴσον τῶι πέμπτωι καὶ ἕκτωι μέρει τῆς ὅλης τῶν ξανθῶν βοῶν. Πάλιν δὲ τὸ τῶν ξανθῶν θηλειῶν πλῆθος ἦν ἴσον τῶι ἕκτωι τε καὶ ἑβδόμωι μέρει τῆς ὅλης ἀγέλης τῶν λευκῶν βοῶν. Καὶ ἡ μὲν ἀγέλη τῶν λευκοτρίχων ταύρων καὶ ἡ τῶν κυανοχρόων ταύρων συντεθεῖσα ποιεῖ τετράγωνον ἀριθμόν, ἡ δ' ἀγέλη τῶν ξανθοτρίχων ταύρων μετὰ τῆς ἀγέλης τῶν ποικιλοχρόων συντεθεῖσα ποιεῖ τρίγωνον, ὡς ἔχει τὰ τῶν ὑποκειμένων κανόνων καθ' ἕκαστον χρῶμα.