| |
|
-
- D e n u m e r i c i s
o r d i n i b u s t r a c t a t u s
Textus:
Pascal, oeuvres completes,
ed. J. Chevalier, Paris 1954
Versio digitalis:
Luc Goulet, Montreal 2004
- _____________________________________________
- Trianguli arithmatici tractatum, ipsiusque circa numericos ordines usum, supponit tractatus iste, ut et plerique e sequentibus: huc ergo mittitur lector horum cupidus; ibi noscet quid sint ordines numerici, nempe unitates, numeri naturales, trianguli, pyramides, triangulo-trianguli, etc. Quae cum perlegerit, facile haec assequetur.
Hic proprie ostenditur connexio inter numerum cujusvis ordinis cum sua radice et exponente sui ordinis, quae talis est ut, ex his tribus datis duobus quibuslibet, tertius inveniatur. Verbi gratia, data radice et exponente ordinis, numerus ipse datur; sic, dato numero et sui ordinis exponente, radix elicitur; necnon ex dato numero et radice, exponens ordinis invenitur: haec constituunt Tria priora problemata: quartum de summa ordinum agit.
De numericorum ordinum compositione
Problema I
Datis numeri cujuslibet radice et exponente ordinis, componere numerum.
Productus numerorum qui praecedunt radicem dividat productum totidem numerorum quorum primus sit exponens ordinis: Quotiens erit quaesitus numerus.
Propositum sit invenire numerum ordinis verbi gratia tertii, radicis vero quintae.
Productus numerorum 1, 2, 3, 4, qui praecedunt radicem 5, nempe 24, dividat productum totidem numerorum continuorum 3, 4, 5, 6, quorum primus sit exponens ordinis 3, nempe 360: Quotiens 15 est numerus quaesitus.
Nec difficilis demonstratio: eadem enim prorsus constructione, inventa est, ad finem tractatus Trianguli Arithmetici, cellula quintae seriei perpendicularis, tertiae vero seriei parallelae; cujus cellulae numerus idem est ac numerus quintus ordinis tertii, qui quaeritur.
Potest autem et sic resolvi idem problema.
Productus numerorum qui praecedunt exponentem ordinis dividat productum totidem numerorum continuorum quorum primus sit radix: Quotiens est quaesitus.
Sic, in proposito exemplo, productus numerorum 1, 2, qui praecedunt exponentem ordinis 3, nempe 2, dividat productum totidem numerorum 5, 6, quorum primus sit radix 5, nempe 30. Quotiens, 15, est numerus quaesitus.
Nec differt haec constructio a praecedente, nisi in hoc solo, quod in altera idem fit de radice, quod fit in altera de exponente ordinis: perinde ac si idem esset invenire, quintum numerum ordinis tertii, ac tertium numerum ordinis quinti; quod quidem verum esse jam ostendimus.
Hinc autem obiter colligere possumus arcanum numericum: cum enim ambo illi quotientes 15 sint iidem, constat divisores esse inter se ut dividendos. Animadvertemus itaque:
Si sint duo quilibet numeri, productus omnium numerorum primum ex ambobus propositis praecedentium, est ad productum totidem numerorum quorum primus est secundus ex his ambobus, ut productus ex omnibus qui praecedunt secundum ex illis ambobus ad productum totidem numerorum continuorum quorum primus est primus ex iis ambobus propositis.
Haec qui prosequeretur, et demonstraret, et novi fortassis tractatus materiam reperiret: nunc autem quia extra rem nostram sunt, sic pergimus.
De numericorum ordinum resolutione
Problema II
Dato numero, ac exponente sui ordinis, invenire radicem.
Potest autem et sic enuntiari.
Dato quolibet numero, invenire radicem maximi numeri ordinis numerici cujuslibet propositi, qui in dato numero contineatur.
Sit datus numerus quilibet, v. g., 58, ordo vero numericus quicumque propositus, v. g., sextus. Oportet igitur invenire radicem sexti ordinis numeri, 58.
| Exhibeatur ex una parte exponens ordinis, 6. |
Et continuo |
Exponatur ex altera parte numerus datus, 58. |
| Multiplicetur ipse 6 per numerum 7, proxime majorem sitque productus, 42. |
Et continuo |
Multiplicetur ipse numerus per 2, sitque productus, 116. |
| Multiplicetur iste productus per proxime sequentem multiplicatorem 8, sitque productus 336. |
Et continuo |
Multiplicetur ipse productus per proxime sequentem multiplicatorem 3, sitque productus, 348. |
| Multiplicetur iste productus per proxime sequentem multiplicatorem 9, sitque productus 3024. |
Et continuo |
Multiplicetur iste productus per proxime sequentem multiplicatorem 4, sitque productus, 1392. |
Et sic in infinitum, donec ultimus productus exponentis 6, nempe 3024, major evadat quam ultimus productus numeri dati, nempe, 1392; et tunc absoluta est operatio: ultimus enim multiplicator dati numeri, nempe 4, est radix quae quaerebatur.
Igitur dico numerum sexti ordinis cujus radix est 4, nempe 56, maximum esse ejus ordinis qui in numero dato contineatur; seu dico numerum sexti ordinis cujus radix est 4, nempe 56, non esse majorem dato numero 58; numerum vero ejusdem ordinis proxime majorem, seu cujus radix est 5, nempe 126, esse majorem numero dato 58.
Etenim productus ille ultimus numeri dati, nempe 1392, factus est ex numero dato, 58, multiplicato per productum numerorum 1, 2, 3, 4, nempe 24; productus vero praecedens hunc ultimum, nempe 348, factus est ex numero dato, 58, multiplicato per productum numerorum 1, 2, 3, nempe 6.
Ergo productus numerorum 6, 7, 8, non est major producto numerorum 1, 2, 3, multiplicato per 58. Productus vero numerorum 6, 7, 8, 9 est major producto numerorum 1, 2, 3, 4, multiplicato per 58, ex constructione.
Jam numerus ordinis sexti cujus radix est 4, nempe 56, multiplicatus per numeros 1, 2, 3 aequatur producto numerorum 6, 7, 8, ex demonstratis in tractatu de ordinibus numericis. Sed productus numerorum 6, 7, 8, non est major ex ostensis producto numerorum 1, 2, 3, multiplicato per datum 58. Igitur productus numerorum 1, 2, 3 multiplicatus per 56, non est major quam idem productus numerorum 1, 2, 3 multiplicatus per datum 58. Igitur 56 non est major quam 58.
Jam sit 126, numerus ordinis sexti cujus radix est 5. Igitur ipse 126, multiplicatus per productum numerorum 1, 2, 3, 4, aequatur producto numerorum 6, 7, 8, 9 ex tractatu de ord. numer. Sed productus ille numerorum 6, 7, 8, 9, est major quam numerus datus 58 multiplicatus per productum numerorum 1, 2, 3, 4, ex ostensis. Igitur, numerus 126, multiplicatus per productum numerorum 1, 2, 3, 4, est major quam numerus datus 58 multiplicatus per eumdem productum numerorum 1, 2, 3, 4. Igitur numerus 126 est major quam numerus datus 58.
Ergo numerus 56 sexti ordinis cujus radix est 4 , non est major quam numerus datus; numerus vero 126 ejusdem ordinis cujus radix 5 est proxime major, major est quam datus numerus.
Ergo ipse numerus 56, maximus est ejus ordinis qui in dato contineatur et ejus radix 4 inventa est.
Q. e. f. e. d.
De numericorum ordinum resolutione
Problema III
Dato quolibet numero, et ejus radice, invenire ordinis exponentem.
Non differt hoc problema a praecedente; radix enim et exponens ordinis reciproce convertuntur, ita ut dato numero, v. g., 58, et ejus radice 4, reperietur exponens sui ordinis 6, eadem methodo ac si dato numero ipso, 58, et exponente ordinis 4, radix 6 esset invenienda; quartus enim numerus sexti ordinis idem est ac sextus quarti, ut jam demonstratum est.
De numericorum ordinum summa
Problema IV
Propositi cujuslibet ordinis numerici tot quot imperabitur priorum numerorum summa invenire.
Propositum sit invenire summam quinque, v. g. priorum numerorum ordinis, verbi gratia sexti.
Inveniatur ex praecedente numerus quintus (quia quinque priorum numerorum summa requiritur) ordinis septimi, nempe ejus qui propositum sextum proxime sequitur: ipse satisfaciet problemati.
Numericorum enim ordinum generatio talis est ut numerus cujusvis ordinis aequetur summae eorum omnium ordinis praecedentis quorum radices non sunt sua majores; ita ut quintus septimi ordinis aequetur, ex natura et generatione ordinum, quinque prioribus numeris sexti ordinis, quod difficultate caret.
Conclusio
Methodus qua ordinum resolutionem expedio est generalissima; verum ipsam diu quaesivi; quae prima sese obtulit ea est.
Si dati numeri quaerebatur radix tertii ordinis, ita procedebam: Sumatur duplum numeri propositi, istius dupli radix quadrata inveniatur: haec quaesita est, aut saltem ea quae unitate minor erit.
Si dati numeri quaeritur radix quarti ordinis: Multiplicetur numerus datus per 6, nempe per productum numerorum 1, 2, 3; producti inveniatur radix cubica; ipsa, aut ea quae unitate minor est, satisfaciet.
Si dati numeri quaeritur radix quinti ordinis: Multiplicetur datus numerus per 24, nempe per productum numerorum 1, 2, 3, 4, productique inveniatur radix 4. gradus: ipsa, unitate minuta, satisfaciet problemati.
Et ita reliquorum ordinum radices quaerebam, constructione non generali, sed cuique propria ordini; nec tamen ideo mihi omnino displicebat; illa enim qua resolvuntur potestates non generalior est, aliter enim extrahitur radix quadrata, aliter cubica, etc., quamvis ab eodem principio viae illae differentes procedant. Ut ergo nondum generalis potestatum resolutio data erat, sic et vix generalem ordinum resolutionem assequi sperabam: conatus tamen expectationem superantes eam quam tradidi praebuerunt generalissimam, et quidem amicis meis, universalium solutionum amatoribus doctissimis, gratissimam; a quibus excitatus et generalem potestatum purarum resolutionem tentare, ad instar generalis ordinum resolutionis, obtemperans quaesivi, et satis feliciter mihi contigit reperisse, ut infra videbitur.
|
|