|
|
[1] Reuerendissimo in christo patri domino Anthonio Sancte Romane ecclesie tituli sancti Crisogoni presbytero Cardinali. Nicolaus Cardinalis tituli sancti Petri ad vincula de Mathematica perfectione.
Sollicita est nobilis mens vestra Pater reuerendissime vt videat etiam ebetiorum speculationes, et a me alias noui aliquid deposcebat. Et quoniam me a pallacio pes morbidus excusauit: biduo domi sedens mathematicam perfectionem quam mitto conscripsi: quatenus virtutem coincidentiarum experimento ignotorum hactenus in theologicis inquisitionibus commendarem. Omne enim scibile mathematicum ex ipsa vti exempla quedam subiungo attingitur. In his obscuris semper quam auide quesitis que nulli hactenus patuerunt. Quomodo autem mathematica nos ducant ad penitus absoluta, diuina et eterna, melius me nouit doctissima paternitas vestra: qui estis theologorum vertex, quandam etiam mee considerationis circa speculum et enigma paruam allegaui scripturam: vbi si Reverendissima paternitas vestra modicum versari dignabitur: subito videbit si visum mentis recte in rerum conieci principium. Hec talia que etiam a doctissimis scribi timebantur, quoniam minus apte panduntur quam contemplentur: non erubui paternitati vestre mittere, cuius iudicio dirigi opto: sciens me non alieno: sed patri qui me amat communicare secreta: que mihi preciosiora fortassis videntur quam existant: correcturus estimationem secundum vestram sententiam quam istis libellis supplex adscribi deposco.
[2] Intentio est ex oppositorum coincidentia mathematicam venari perfectionem. Et quia perfectio illa plerumque consistit in recte curueque quantitatis adequatione, propono habitudinem duarum rectarum linearum se vt corda ad suum arcum habentium inuestigare: sciens illa habita me medium habere curuam quantitatem cum recta adequandi, et quoniam ad has inueniendas necesse est me alicuius corde ad arcum habitudinem scire, vt ex illa cognita pergere queam ad artem. Sed quomodo est possibile me cuiusquam date corde ad arcum habitudinem scire: cum inter illas quantitates adeo contrarias forte non cadat numerabilis habitudo.
[3] Necesse erit igitur me recurrere ad visum intellectualem qui videt minimam: sed non assignabilem cordam cum minimo arcu coincidere. Nam quanto corda minor: tanto sagitta adhuc minor, vt d, e, sagitta corde b, c, est minor quam g, e, sagitta corde f, h, quia b, c, minor f, h, et ita consequenter.
[4] Minima igitur corda qua minor dari non posset si signabilis foret non haberet sagittam, et ita etiam non foret minor arcu suo. Coincideret igitur ibi corda et arcus si ad minimam quantitatem in talibus deueniretur, hoc videt bene intellectus necessarium: licet sciat nec arcum nec cordam cum sint quantitates esse simpliciter minimas in actu et posse: cum continuum sit semper diuisibile. Ad hauriendum autem scientiam habitudinis: respicio ad intellectualem visionem, et dico me videre vbi est corde et arcus equalitas scilicet in simpliciter minimo vtriusque. Ex hac visa equalitate pergo ad inquirendum intentum medio trianguli orthogonii: et per propositionem que sequitur.
[5] Propositio
Si orthogonii latus quo non est maius ponitur linea prima et semidiameter circuli: et latus quo non est minus secunda linea et semicorda: et reliquum latus tertia linea: que erit semiarcus ad semicordam habitudo: illa erit linee equalis tribus primis lineis ad lineam equalem duabus primis cum tertia. Ut si orthogonius est, a, b 1), et, a, c, latus quo non est maius: prima linea et semidiameter 2) circuli, et, b, c, latus quo non est minus secunda linea et semicorda: et, a, b, latus tertia linea: et, h, c, semiarcus: et, d, e, equalis tribus lineis, a, c, et, f, g, equalis duabus, a, c, cum vna, a, b, dico quod que est habitudo, h, c, ad, b, c, illa est, d, e, ad, f, g.
[6] Explanatio propositionis. Orthogonius est tanto minor quanto prima linea tertiam minus excedit. Si igitur posset dari minimus orthogonius: prima tertiam non excederet, et quia secunda linea foret minima, tunc cum ponatur semicorda ipsa non foret minor semiarcu secundum premissa. Maximus autem orthogonius est quando prima tertiam excedit maxime. Et hoc erit quando tertia erit vt secunda: quia non est minor: et tunc secunda est semicorda quadrantis, et sit ille orthogonius, a, b, c, dico possibile esse quod aliqua linea addatur, a, c, et eandem 3) addatur, a, b, et maior se habeat ad minorem, vt, h, c, semiarcus se habet ad, b, c, semicordam hanc lineam posse dari: que addatur a, c, et a, b, vt prefertur certum relinquo. Cum possit linea aliqua dari que addita ad a, c, et a, b, efficiat lineas maioris habitudinis quam est habitudo h, c, semiarcos ad b, c. Et possit dari linea que addita efficiat lineas minoris habitudinis quam h, c, ad b, c, et hoc certum. Igitur et dari posse eam que addita efficiat lineas nec maioris nec minoris habitudinis quam h, c, ad b, c, manifestum: cum non repugnet lineas rectas se habere vt corda ad arcum, siue corda sit arcui commensurabilis siue incommensurabilis.
[7] Constat autem quod qualiscunque illa linea fuerit: si in minimo orthogonio etiam ad a, c, et a, b, additur propositio verificatur. Cum ibi prima et tercia sic sint eadem sicut semiarcus et semicorda, quare qualiscunque illa linea fuerit que additur: propositio vera manet. Et quia sic est quod linea que additur in maximo orthogonio est etiam illa que additur in minimo, igitur et in omnibus orthogoniis intermediis eadem manebit. Et hec est radix huius scientie, ex qua sequitur quod si reperio lineam quam addo in orthogonio: cuius b, c, est semicorda quadrantis, et quam etiam addo vbi b, c, est semicorda exagoni, et que hincinde reperio tenent habitudinem ad inuicem sicut arcus, scilicet vt tria ad duo: patet me lineam addendam in omnibus inuenisse: et hoc est indubitatum.
[8] Hoc faciliter sic patet. Possibile est lineam equalem tercie adiunctis duabus primis orthogonii ad lineam ex prima adiunctis quatuor secundis: in aliquo loco se habere vt semicorda ad semiarcum. Hoc certum. Nam datur vbi in minus vt in maioribus orthogoniis, et vbi in plus: vt in minoribus, vt de se patet. Datur igitur in aliquo loco vbi nec in plus, nec in minus, vbicunque hoc fuerit oportet per premissa quod sit eadem linea que additur ad terciam et que additur ad primam, sed que additur ad terciam est prima bis. Igitur que additur ad primam erit similiter vt prima bis, et ita erit vbi secunda erit quarta 4) prime, scilicet semicorda lateris exagoni, quare addenda est dyametri 5).
[9] Sic poteris et aliter idipsum videre. Puta datur vbi prima bis cum secunda bis se habet ad primam ter: sicut semicorda ad arcum arguendo vt ante, sed cum vna debet esse linea addita ad terciam et primam, et ad primam additur prima bis, et prima bis additur ad secundam bis: erit secunda bis vt tercia et que additur erit dyameter, et consimilia facere poteris argumenta quot placuerint. Sed propositio dicit lineam addendam ad c, a, et ad a, b, esse dyametrum siue duplam ad a, c, quod idem est. Poteris hoc experiri ex iam dicto, scilicet an in omnibus proportionabiliter idem eueniat.
[10] Sed vt tu videas vtique sic esse vt habet propositio: sumas duplicem orthogonium, vt est a, b, c, ad a, b, d, et describe arcum d, c, continuando etiam a, b, ad arcum, et sit b, e, sagitta. Dico possibile esse aliquem triangulum ex orthogoniis compositum sic se habere: quod si a, c, et a, d, continuantur in infinitum, et corda aliqua que sit equedistans ad, d, c, fiat equalis a, d, a, c, et a, b, vt e 6), f, quod tunc arcus cuius e, f, corda: excedat cordam in, b, e, sagitta, scilicet intantum inquantum a, e, excedit a, b.
[11] Hoc quidem in aliquo loco possibile esse negari nequit, puta vbi tres semidiametri minus sagitta sunt triple ad cordam, tamen sine ibi siue alibi sit non variat. Sufficit quod in aliquo loco est possibile: et hoc si volueris vt ante probare poteris, quia datur vbi excessus est in minus quam sagitta: et datur vbi in plus, et hec certa relinquo. Datur igitur vbi nec in plus nec in minus modo premisso, vbicunque autem hoc fuerit patet, a, c, a, d, cum a, b, se habere ad, a, c, ter sicut corda ad arcum. Patet quia, a, c, ter cum, a, c, ter minus sagitta in aliquo loco equantur corde et arcui simul, et hoc certum, aut igitur ibi vbi arcos excedit cordam in dicta sagitta et habetur propositum, aut citra vel vltra, si citra: tunc cum arcus cordam minus excedat quam in dicta sagitta, ideo corda erit maior quam vbi arcus excedit cordam in dicta sagitta: quod est impossibile scilicet minorem arcum habere maiorem cordam. Sic si diceretur quod vltra oporteret maiorem arcum habere minorem cordam, quare linea ad, a, c, et, a, b, attendenda 7): est, a, c, bis: seu diameter circuli et hec est veritas.
[12] Cur autem sic diameter eiusdem circuli forte poterit dici quod cum linea addenda sit alicuius circuli diameter non dicetur quod sit maioris circuli diameter quia tunc non haberet veritatem in maximo circulo quo actu non est maior. Nec potest dici quod sit minoris quia in minimo circulo actu non haberet veritatem, et ita in nullo: cum id quod de circulo vt circulo dicitur omnibus conuenire necesse sit: etsi omnibus non conuenit: tunc nulli siue tamen illa siue alia sit ratio non refert, sic patet propositionis intellectus.
[13] Adiiciam aliam eiusdem linee addende ostensionem: dabilis est linea: cuius a, c, est pars aliquota que ad lineam quam excedit in quantitate qua a, c, excedit a, b, se habet in maiori habitudine quam h, c, ad b, c, vti est linea ad a, c, dupla, et dabilis est linea cuius a, c, est pars aliquota: que ad lineam quam excedit in quantitate qua a, c, excedit a, b, habet minorem habitudinem quam h, c, ad b, c, vti est quadrupla ad a, c, et hec verissima, quare dabilis est linea: cuius a, c, est pars aliquota: que ad lineam quam excedit in quantitate qua a, c, excedit a, b, se habet in habitudine qua h, c, ad b, c, et hec cum sit necessario maior dupla et minor quadrupla: erit tripla ad a, c, quare addenda ad a, c, erit dupla ad ipsam seu dyameter.
[14] Ut autem in numeris tu videas illa vera que de dupla et quadrupla ad a, c, dixi: ponas secundum propinquitatem archimedis a, c, esse, 7, et a, b, quasi, 5, et sit b, c, vt in quadrante ei equalis etiam, 5, et h, c, erit, 5, cum dimidio secundum propinquitatem positionis quod semicirculus sit a, c, ter cum vna septima, scilicet quasi, 22, et ita habitudo h, c, ad b, c, erit quasi, 5, cum dimidio ad, 5, siue, 11, ad, 10. Et excessus a, c, super a, b, quasi, 2, et patet quod dupla ad a, c, scilicet, 14, se habet ad minorem ea in quantitate excessus qua a, c, excedit a, b, scilicet qui est quasi duo puta, 12, in maiori habitudine quam, 11, ad, 10, et quater a, c, scilicet, 28, ad minorem ei in duobus scilicet, 26, in minori habitudine quam, 11, ad, 10. Ideo linea cuius a, c, debet esse aliquota debet esse maior dupla et minor quadrupla. Erit igitur tripla cum illa sola sit media cuius a, c, est aliquota.
[15] Causa autem cur procedit argumentatio quod linea que queritur debet esse pars aliquota a, c, est ista, quia cum debeat esse vna in omnibus orthogoniis: tunc necesse est quod respiciat a, c, que etiam est vna in omnibus, et non a, b, vel b, c, que semper variantur. Possent alli immutabiles 8) modi ostensionis propositionis adduci, sed isti sunt fundamentales et sufficientes.
[16] Multa hic propalantur abscondita quoniam vides quomodo id quod verificatur de maximo et minimo verificatur de mediis, et quod ille qui videt maximum coincidere cum minimo, quoniam maximum pariter et minimum ille in ipso videt omnia. Et praxim habes venandi scientiam commensurationis contrariorum que incommensurabilia videntur. Hec mihi magna et prius intacta videntur. Archimedes etenim qui per elicam voluit rectam circumferentie circuli commensurare nihil de arte tetigit nec id inuenit in dicto particulari 9) quod quesiuit, peccauit enim presupponens quod quesiuit. Elica enim sine spirialis linea sine motu duorum punctorum quorum motuum habitudo est: vt semidiameter ad circumferentiam circuli describi nequit. Id igitur presupposuit dum de elica loqueretur quod quesiuit. Sed hec sic sint: redeamus ad institutum, et ex fecunditate propositionsi aliqua eliciamus correlaria vt pari modo innumera alia his datis queant explicare.
[17] Correlarium
Illa est habitudo trium semidiametrorum ad tres semidiametros minus sagitta corde quadrantis et minoris que est cuiuslibet arcus ad suam cordam vt si b, c, sit corda quadrantis vel minoris arcus: et de, a, centro per, d, medium, b, c, ad e, circumferentiam sector ducatur: illa est habitudo, a, e, ter sumpta ad, a, e, bis sumpta cum, a, d, que arcus ad, b, c, cordam. Cum autem dicitur de corda quadrantis et minoris, patet ideo quod in maiori corda latus orthogonii quo non est minus: non possit esse semicorda quod tamen requiritur, et sic clare patet correlarium istud ex premissis.
[18] Datum arcum in rectam resoluere. Arcus enim si est quadrans et minor ipsum sic recipito, si maior: partem eius recipito aliquotam que sit quadrans aut minor, et sit, b, c, arcus quadrantis in rectam resoluendus, trahe de, a, centro lineas per, b, et, c, in infinitum, et aliam ad medium corde scilicet, a, d, et inter infinitas lineas vnam equedistantem ad, b, c, cordam describe que sit equalis, a, b, a, d, et, a, c, et sit, e, f, equalis illis in, e, f, signa, a, b, et sit, f, g, vt, a, b. Et trahe a, g, lineam notando vbi cordam, b, c, secat ponendo, h, litteram dico, h, c, esse tertiam arcus. Tripla igitur h, c, et redegisti arcum in rectam. Uel trahe equedistantem ad, b, c, versus centrum que sit, i, k, l, ita quod, a, i, a, k, et, a, l, simul equentur, b, c, corde, et, a, i, erit tertia arcus. Hec omnia de se patent.
[19] Datam rectam in arcum resoluere. Sit a, b, recta: quam si vis in quadrantem alicuius circuli resoluere: fac de o, centro lineas que rectum angulum constituunt exire indiffinite quantitatis que sint d, e 10), et aliam fac transire e medio anguli scilicet o, f, et terciam partem a, b, linee resoluende signa in o, d, et o, e, et sit o, g, vt tercia a, b. Similiter et o, h, trahendo g, i, h, et consequenter trahe equedistantem ad g, i, h, equalem a, g, a, i, et a, h 11): et sit k, l, illis equalis, et describe quadrantem cuius k, l, corda, quia ille est cui a, b, equatur. Et si in alium arcum resoluere volueris qui fuerit minor quadrante eodem modo facito, si maior recipito partem aliquotam. Puta vis in circulum reducere: recipito quartam partem recte et resolue in quadrantem: et totum in circulum reduxisti.
[20] Si vero datam rectam in arcum dati circuli resoluere volueris, vel cum tota vel parte aliquota eius: procede modo quo supra angulum o, d, et o, e, variando quousque attingas cordam: que o, g, o, i, et o, h, equetur.
[21] Correlarium
Datum arcum vnius circuli in arcum alterius circuli resoluere, hoc fit resoluendo ipsum primo in rectam, deinde rectam in arcum alterius modo premisso.
[22] Correlarium
Angulos qui se habent vt date linee assignare, hoc fit in resoluendo lineas in arcus eiusdem circuli: et a centro sectores ad fines talium arcuum trahendo.
[23] Correlarium
Que est habitudo semidiametri ad semidiametrum minus sagitta: illa est tercie arcus ad excessum quo corda duas tercias arcus sui excedit. Puta sit b, c, corda quadrantis, et in illa per premissa signasti duas tercias arcus scilicet c, d, et d, e. Dico quod habitudo tercie arcus 12) ad e, b, excessum quo corda duas tercias excedit: est sicut semidiameter ad semidiametrum minus sagitta. Patet correlarium ex premissis. Et habet veritatem in maximo et minimo orthogonio: et omnibus mediis.
[24] Cordam dati arcus partis aliquote semicirculi assignare, puta tu vis ex scientia corde quadrantis scire cordam arcus qui est medietas quadrantis: tu nosti partem corde quadrantis que equatur tertie arcus: et recipis medietatem illius et addis ei similem et queris excessum qui se habeat ad vnam tertie sicut semidiameter ad semidiametrum minus sagitta.
[25] Subiiciam adhuc curiosa correlaria.
Si tres semidiametri minus sagitta erunt triple ad cordam: erit arcus vt semidiameter.
Si erunt duple ad cordam arcus se habebit in proportione sexqualtera ad semidiametrum.
Tres semidiametri sunt medium proportionabile inter tres semidiametros minus sagitta et semicirculum.
Si tres semidiametri minus sagitia fuerunt multiplices ad cordam sic erunt et tres semidiametri minus sagitta ad cordam medietatis arcus et cuiuslibet partis aliquote proportionabiliter.
Tria latera trigoni equilateri erunt vt circumferentia circuli illius cuius diameter est tertia pars duorum laterum et linee recte de vno latere ad medium lateris sibi oppositi.
[26] Si a centro tres linee ducantur: vna per principium corde quadrantis aut minoris arcus: alia per medium: tertia per finem: que in linea equedistanti corde terminentur: ita quod illarum trium linearum habitudo ad cordam sit vt circumferentie ad arcum: tunc linea ducta per principium corde triplicata est equalis circumferentie.
Arcus equalis tribus quartis diametri excedit cordam suam in medietate sagitte.
Diameter circuli est equalis duabus tertiis laterum trigoni issoperimetri et semidiametro 13) circuli eidem trigono inscripti 14).
Excessus semicirculi super duas cordas quadrantis est vt excessus diametri quadrati equalis tertie parti eius super suam costam.
Ualitudo trium diametrorum circuli ad suam circumferentiam est vt, 14, cum radice de, 36, et, 3/4, ad, 21 15).
Scientia cordarum nunc extat perfecte adinuenta.
Scientia quadrature circuli suum finem sortita existit.
Secundum datarum linearum habitudinem siue commensurabilium siue incommensurabilium lineas et superficies: rectas et curuas: atque corpora dari docet hec ars perfectissima.
Adhuc ex coincidentia minime contingentie et minimi arcus propoßitionem recipio que est talis.
[27] Propositio
Si ponitur secundum latus orthogonii semidiameter circuli, et tercium linea contingens circulum vel econuerso, et descriptus fuerit circulus qui 16) erit habitudo contingentis ad arcum qui cadit intra orthogonium, illa et recte atque curue superficierum. Ut si orthogonius fuerit a, b, c, et b, c, contingens, et a, b, semidiameter circulo descripto: cuius b, d, portio cadit intra orthogonium que est b, c, ad b, d, illa a, b, c, recte superficiei ad a, b, d, curuam superficiem. Probatio huius est, quia cum sic sit 17) in minimo si dari posset, igitur et in omnibus: cum non referat vtrum orthogonius sit maximus vel non.
[28] Datam superficiem ex arcu et sectoribus constitutam in orthogonium resoluere. Ut sit a, b, c, resoluatur b, c, arcus in rectam que sit b, c 18), et claudatur 19) per a, d, et ita habes siue b, d, sit ad circumferentiam proportionabilis, siue non: quomodo in rectam superficiem redigitur, et habes quomodo circulum in orthogonium resoluis, et demum in quadratum seu aliam figuram.
[29] Datam superficiem rectam in portionem 20) resoluere. Ex premissa patet quod si est orthogonius quomodo hoc fiat si non est redigatur in orthogonium. Abscisiones ex corda et arcu in rectas et circulares resoluere de se patet.
[30] Abscisionum spere habitudo curue superficiei ad rectam basis est vt linee de cenit ad centrum basis cum semidiametro basis ad ipsam 21) semidiametrum. Patet quia in minima abscisione vbi recta superficies coincidit cum curua et cenit cum centro, ita est ideo de omnibus.
Curua superficies medietatis spere est dupla ad rectam circuli basis.
Datam curuam spere superficiem in rectam resoluere circularem et rectilinealem.
Speram in cubum et cubum in speram resoluere.
Simili modo in aliis curuis superficiebus ad minima respiciendo habitudines elice: et quicquid scibile est humanitus in mathematicis mea sententia hac via requiritur.
Explicit liber de mathematica perfectione.
_____________
1)
lege: abc
2)
semidiater
3)
lege: eadem
4)
lege: medietas
5)
lege: dyameter
6)
lege: g
7)
lege: addenda
8)
lege: innumerabiles
9)
partitulari
10)
lege: od et oe
11)
lege: og, oi et oh
12)
scilicet: d e
13)
semidiameter
14)
in inscripti
15)
12
16)
lege: que
17)
fit
18)
lege: b d
19)
adde: orthogonius
20)
adde: circularem
21)
ipsum
|